三角形の面積

2018年1月10日

空間内の三角形の面積の問題です。成分を利用して求める公式もありますがかなり複雑になるので、矢線ベクトルの公式の方だけ覚えておけば大丈夫です。公式は平面のときと同じです。

１．((1) 小樽商科大)
(1) 空間に3点A $(1,1,2)$ , B $(1,3,1)$ , C $(4,1,1)$ があるとき， $\bigtriangleup$ ABCの面積を求めよ．
(2) A $(0,0,1)$ , B $(0,1,0)$ , P $(1,t,0)$ とする． $\bigtriangleup$ ABPの面積を $t$ を用いて表せ．また， $0 \leqq t \leqq 2$ のとき，その面積の最大値，最小値を求めよ．

２．(大阪教育大)
実数 $a,~b$ に対して，座標空間の3点O $(0,0,0)$ , P $(1,0,a)$ , Q $(0,2,b)$ を考える．三角形OPQの面積を $S$ とする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ と $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ のなす角を $\theta$ とするとき， $\cos\theta$ を $a,~b$ を用いて表せ．
(2) $S$ を $a,~b$ を用いて表せ．
(3) 3点O, P, Qが定める平面上に点R $(1,1,1)$ があるとき， $a$ と $b$ の関係を求め， $S$ の最小値を求めよ．

３．(東京理科大)
Oを原点とする座標空間に，3点A $(2,0,0)$ , B $(0,\sqrt{5},0)$ , C $(0,0,\sqrt{6})$ がある．原点Oから $\bigtriangleup$ ABCへ垂線を下ろし， $\bigtriangleup$ ABCとの交点をHとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}=(~~~~~)$ である．
(2) $\cos\angle\mbox{BAC}=(~~~~~)$ である．
(3) $\bigtriangleup$ ABCの面積は(　　)である．
(4) $|\overrightarrow{\mbox{OH}}|^2=(~~~~~)$ である．

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