三角形の面積

空間内の三角形の面積の問題です。成分を利用して求める公式もありますがかなり複雑になるので、矢線ベクトルの公式の方だけ覚えておけば大丈夫です。公式は平面のときと同じです。

1.((1) 小樽商科大)
(1) 空間に3点A(1,1,2), B(1,3,1), C(4,1,1)があるとき,\bigtriangleupABCの面積を求めよ.
(2) A(0,0,1), B(0,1,0), P(1,t,0)とする.\bigtriangleupABPの面積をtを用いて表せ.また,0 \leqq t \leqq 2のとき,その面積の最大値,最小値を求めよ.

2.(大阪教育大)
実数a,~bに対して,座標空間の3点O(0,0,0), P(1,0,a), Q(0,2,b)を考える.三角形OPQの面積をSとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OQ}}のなす角を\thetaとするとき,\cos\thetaa,~bを用いて表せ.
(2) Sa,~bを用いて表せ.
(3) 3点O, P, Qが定める平面上に点R(1,1,1)があるとき,abの関係を求め,Sの最小値を求めよ.

3.(東京理科大)
Oを原点とする座標空間に,3点A(2,0,0), B(0,\sqrt{5},0), C(0,0,\sqrt{6})がある.原点Oから\bigtriangleupABCへ垂線を下ろし,\bigtriangleupABCとの交点をHとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}=(~~~~~)である.
(2) \cos\angle\mbox{BAC}=(~~~~~)である.
(3) \bigtriangleupABCの面積は(  )である.
(4) |\overrightarrow{\mbox{OH}}|^2=(~~~~~)である.

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