内積の利用1

2018年1月25日

内積を空間図形の計量に利用する問題です。

1.(上智大)
1辺の長さがlの正四面体OABCで,OAの中点をM,BCの中点をNとする.\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}をそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}とかくとき,\overrightarrow{\mbox{MN}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表すと\overrightarrow{\mbox{MN}}=(~~~~~)である.\overrightarrow{\mbox{MN}}の大きさは|\overrightarrow{\mbox{MN}}|=(~~~~~)であり,\overrightarrow{\mbox{MN}}\overrightarrow{\mbox{OB}}のなす角を弧度法で表せば(  )ラジアンである.

2.(中央大)
1辺の長さが1の正四面体OABCがある.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.点PはOを出発し,毎分2の速さで辺OA上をAまで動き,さらに辺AB上をBまで動く.また,点Qは点PがOを出発するのと同時にBを出発し,毎分1の速さで辺BC上をCまで動く.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 2点P, Qが出発してからt分後の\overrightarrow{\mbox{PQ}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c},~tで表せ.ただし,0 \leqq t \leqq 1とする.
(2) 0 \leqq t \leqq 1のとき,\overrightarrow{\mbox{PQ}}の大きさ|\overrightarrow{\mbox{PQ}}|の最大値,最小値およびそのときのtの値を求めよ.

解答

3.(和歌山大)
1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて,辺OAを1:2に内分する点をL,辺OBを2:1に内分する点をMとし,辺BC上に\angle\mbox{LMN}が直角となるように点Nをとる.このとき,
(1) \mbox{BN}:\mbox{NC}を求めよ.
(2) \angle\mbox{MNB}=\thetaとするとき,\cos\thetaの値を求めよ.

4.(信州大)
四面体OABCにおいて|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=1,~|\overrightarrow{\mbox{OC}}|=2,~\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{AOC}=60^{\circ}とする.OAの中点をMとし,線分BM上に点Pをとる.ただし,P=B, Mの場合を除く.
(1) \mbox{BP}:\mbox{PM}=t:1-tのとき,\overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}で表せ.
(2) CPがBMに垂直となりうるための\cos\angle\mbox{BOC}の値の範囲を求めよ.
(3) BMを2:1に内分するPに対して\mbox{CP}\bot\mbox{BM}となるとき,BCの長さを求めよ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ