内積の利用２

2018年1月10日2018年1月25日

正多面体の計量の問題です。

１．(中央大)
空間内の4点A, B, C, Dを頂点とする四面体の重心Gは，点Oを基準とする位置ベクトルを使って $\overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}}{4}$ と表され， $\overrightarrow{\mbox{GA}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}+\overrightarrow{\mbox{GD}}=(~~~~~)$ となることがわかる．また正四面体の対称性から $|\overrightarrow{\mbox{GA}}|=|\overrightarrow{\mbox{GB}}|=|\overrightarrow{\mbox{GC}}|=|\overrightarrow{\mbox{GD}}|$ であり，また $\overrightarrow{\mbox{GA}},~\overrightarrow{\mbox{GB}},~\overrightarrow{\mbox{GC}},~\overrightarrow{\mbox{GD}}$ のうち2つの異なるベクトルのなす角はどれも等しい．この角度を $\theta$ とする． $\overrightarrow{\mbox{GA}}$ は面BCDに直交し，他のベクトルと面も同様であるから，この正四面体の2つの面のなす角 (これを面角という) $\omega$ と $\theta$ は $\theta=(~~~~~)$ を満たす．そこで， $\overrightarrow{\mbox{GA}}\cdot(\overrightarrow{\mbox{GA}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}+\overrightarrow{\mbox{GD}})$ を計算すれば $\cos\theta=(~~~~~)$ と $\cos\omega=(~~~~~)$ を得る．
一方，この正四面体の6本の各辺の中点を頂点として正八面体が作れる．よって正四面体の面角 $\omega$ と正八面体の面角 $\phi$ は $\phi=(~~~~~)$ の関係にあり， $\cos\phi=(~~~~~)$ となる．この正八面体の1辺の長さと正四面体ABCDの1辺の長さの比は(　　)である．これより，1辺の長さの等しい正四面体と正八面体の体積の比は(　　)である．

→解答

２．(京都大)
四面体OABCを考える．点D, E, F, G, H, Iは，それぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり，頂点ではないとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{DG}}$ と $\overrightarrow{\mbox{EF}}$ が平行ならば $\mbox{AE}:\mbox{EB}=\mbox{CF}:\mbox{FB}$ であることを示せ．
(2) D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき，これらの点はOABCの各辺の中点であり，OABCは正四面体であることを示せ．

３．(福井大)
1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O, A, B, C, D, E, Fを図に示す正十二面体の頂点とし， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおくとき，以下の問いに答えよ．なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり，各頂点は3つの正五角形に共有されている．
(1) 1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さを求めて，内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{CD}},~\overrightarrow{\mbox{OF}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(3) Oから平面ABDに垂線OHを下ろす． $\overrightarrow{\mbox{OH}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．さらにその大きさを求めよ．

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