内積の利用2

2018年1月25日

正多面体の計量の問題です。

1.(中央大)
空間内の4点A, B, C, Dを頂点とする四面体の重心Gは,点Oを基準とする位置ベクトルを使って\overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}}{4}と表され,\overrightarrow{\mbox{GA}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}+\overrightarrow{\mbox{GD}}=(~~~~~)となることがわかる.また正四面体の対称性から|\overrightarrow{\mbox{GA}}|=|\overrightarrow{\mbox{GB}}|=|\overrightarrow{\mbox{GC}}|=|\overrightarrow{\mbox{GD}}|であり,また\overrightarrow{\mbox{GA}},~\overrightarrow{\mbox{GB}},~\overrightarrow{\mbox{GC}},~\overrightarrow{\mbox{GD}}のうち2つの異なるベクトルのなす角はどれも等しい.この角度を\thetaとする.\overrightarrow{\mbox{GA}}は面BCDに直交し,他のベクトルと面も同様であるから,この正四面体の2つの面のなす角 (これを面角という)\omega\theta\theta=(~~~~~)を満たす.そこで,\overrightarrow{\mbox{GA}}\cdot(\overrightarrow{\mbox{GA}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}+\overrightarrow{\mbox{GD}})を計算すれば\cos\theta=(~~~~~)\cos\omega=(~~~~~)を得る.
一方,この正四面体の6本の各辺の中点を頂点として正八面体が作れる.よって正四面体の面角\omegaと正八面体の面角\phi\phi=(~~~~~)の関係にあり,\cos\phi=(~~~~~)となる.この正八面体の1辺の長さと正四面体ABCDの1辺の長さの比は(  )である.これより,1辺の長さの等しい正四面体と正八面体の体積の比は(  )である.

解答

2.(京都大)
四面体OABCを考える.点D, E, F, G, H, Iは,それぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり,頂点ではないとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{DG}}\overrightarrow{\mbox{EF}}が平行ならば\mbox{AE}:\mbox{EB}=\mbox{CF}:\mbox{FB}であることを示せ.
(2) D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき,これらの点はOABCの各辺の中点であり,OABCは正四面体であることを示せ.

3.(福井大)
1辺の長さが1の正十二面体を考える.点O, A, B, C, D, E, Fを図に示す正十二面体の頂点とし,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおくとき,以下の問いに答えよ.なお,正十二面体では,すべての面は合同な正五角形であり,各頂点は3つの正五角形に共有されている.
(1) 1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さを求めて,内積\vec{a}\cdot\vec{b}を求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{CD}},~\overrightarrow{\mbox{OF}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(3) Oから平面ABDに垂線OHを下ろす.\overrightarrow{\mbox{OH}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.さらにその大きさを求めよ.

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