内積の利用3

2直線の直交の問題です。

1.(埼玉大)
右図のような一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて,ベクトル\overrightarrow{\mbox{AB}}\vec{b},ベクトル\overrightarrow{\mbox{AE}}\vec{e},ベクトル\overrightarrow{\mbox{AD}}\vec{d}とおく.また,線分DF上に一点Pを,\mbox{DF}\bot\mbox{AP}となるようにとる.さらに線分APの延長が平面CDHGと交わる点をRとする.このとき,
(1) \overrightarrow{\mbox{AP}}\vec{b},~\vec{e},~\vec{d}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AR}}\vec{b},~\vec{e},~\vec{d}を用いて表せ.

2.(愛媛大)
1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える.線分AHと線分EDの交点をKとする.さらに,辺CGを3:1に内分する点をLとし,辺EFをp:(1-p)に内分する点をMとする.ただし,0<p<1である.また,\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{EF}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{EH}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{EA}}とおく.
(1) \overrightarrow{\mbox{KL}}および\overrightarrow{\mbox{KM}}をそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{KL}}\overrightarrow{\mbox{KM}}が垂直になるようなpの値を求めよ.
(3) 直線KLと面EFGHを含む平面との交点をQとする.
(ア) 線分EQの長さを求めよ.
(イ) \bigtriangleupEKQの面積を求めよ.

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