内積の利用4

2018年1月25日

次は直線と平面の直交の問題です。

1.(広島大)
1辺の長さが1の立方体の3つの辺をOA, OB, OCとし,Oを含む3つの面上にはない頂点をDとする.このとき,ODは三角形ABCに直交することを示せ.

2.(広島大)
図のような立方体の対角線RTの中点をGとし,\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}},~\vec{r}=\overrightarrow{\mbox{OR}},~\vec{s}=\overrightarrow{\mbox{OS}}とする.
(1) \overrightarrow{\mbox{GU}}\vec{p},~\vec{r}および\vec{s}で表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{GU}}は平面QTVに垂直であることを証明せよ.

3.(京都大)
四面体ABCDにおいて\overrightarrow{\mbox{CA}}\overrightarrow{\mbox{CB}}\overrightarrow{\mbox{DA}}\overrightarrow{\mbox{DB}}\overrightarrow{\mbox{AB}}\overrightarrow{\mbox{CD}}はそれぞれ垂直であるとする.このとき,頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ.

4.(神戸大)
四面体O-ABCで\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{BOC}=\angle\mbox{COA}=\theta<\dfrac{\pi}{2}とし,\bigtriangleupABCの重心をGとする.\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}とおく.
(1) |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|のとき,3点A, B, Cを含む平面と直線OGは垂直に交わることを示せ.
(2) 3点A, B, Cを含む平面と直線OGが垂直に交わるとき,|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|であることを示せ.

5.(神戸大)
四面体OABCがあり,\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{AOC}=90^{\circ},~\angle\mbox{BOC}=60^{\circ},辺OA, OB, OCの長さはそれぞれa,~a,~2である.このとき,点Oから三角形ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をPとするとき,Pが三角形ABCの内部 (辺上を含む)にあるためのaの条件を求めよ.

6.(早稲田大)
四面体OABCにおいて\mbox{OA}=\mbox{BC}=2,~\mbox{OB}=3,~\mbox{OC}=\mbox{AB}=4,~\mbox{AC}=2\sqrt{6}である.また,\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}とする.
(1) 内積\vec{a}\cdot\vec{b},~\vec{a}\cdot\vec{c},~\vec{b}\cdot\vec{c}を求めよ.
(2) \bigtriangleupOABを含む平面をHとする.H上の点Pで直線PCとHが直交するものをとる.このとき,\overrightarrow{\mbox{OP}}=x\vec{a}+y\vec{b}となるx,~yを求めよ.
(3) (2)において,平面Hを直線OA, AB, BOで右図のように7つの領域ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キに分ける.点Pはどの領域に入るか答えよ.
(4) 辺ABで\bigtriangleupABCと\bigtriangleupOABのなす角は鋭角になるか,直角になるか,それとも鈍角になるかを判定せよ.ただし,1辺を共有する2つの三角形のなす角とは,共有する辺に直交する平面での2つの三角形の切り口のなす角のことである.

解答

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