内積の利用４

2018年1月11日2018年1月25日

次は直線と平面の直交の問題です。

１．(広島大)
1辺の長さが1の立方体の3つの辺をOA, OB, OCとし，Oを含む3つの面上にはない頂点をDとする．このとき，ODは三角形ABCに直交することを示せ．

２．(広島大)
図のような立方体の対角線RTの中点をGとし， $\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}},~\vec{r}=\overrightarrow{\mbox{OR}},~\vec{s}=\overrightarrow{\mbox{OS}}$ とする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{GU}}$ を $\vec{p},~\vec{r}$ および $\vec{s}$ で表せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{GU}}$ は平面QTVに垂直であることを証明せよ．

３．(京都大)
四面体ABCDにおいて $\overrightarrow{\mbox{CA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{CB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{DA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{DB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{CD}}$ はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ．

４．(神戸大)
四面体O-ABCで $\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{BOC}=\angle\mbox{COA}=\theta<\dfrac{\pi}{2}$ とし， $\bigtriangleup$ ABCの重心をGとする． $\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}$ とおく．
(1) $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$ のとき，3点A, B, Cを含む平面と直線OGは垂直に交わることを示せ．
(2) 3点A, B, Cを含む平面と直線OGが垂直に交わるとき， $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$ であることを示せ．

５．(神戸大)
四面体OABCがあり， $\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{AOC}=90^{\circ},~\angle\mbox{BOC}=60^{\circ}$ ，辺OA, OB, OCの長さはそれぞれ $a,~a,~2$ である．このとき，点Oから三角形ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をPとするとき，Pが三角形ABCの内部 (辺上を含む)にあるための $a$ の条件を求めよ．

６．(早稲田大)
四面体OABCにおいて $\mbox{OA}=\mbox{BC}=2,~\mbox{OB}=3,~\mbox{OC}=\mbox{AB}=4,~\mbox{AC}=2\sqrt{6}$ である．また， $\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}$ とする．
(1) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b},~\vec{a}\cdot\vec{c},~\vec{b}\cdot\vec{c}$ を求めよ．
(2) $\bigtriangleup$ OABを含む平面を $H$ とする． $H$ 上の点Pで直線PCと $H$ が直交するものをとる．このとき， $\overrightarrow{\mbox{OP}}=x\vec{a}+y\vec{b}$ となる $x,~y$ を求めよ．
(3) (2)において，平面 $H$ を直線OA, AB, BOで右図のように7つの領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キに分ける．点Pはどの領域に入るか答えよ．
(4) 辺ABで $\bigtriangleup$ ABCと $\bigtriangleup$ OABのなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，1辺を共有する2つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での2つの三角形の切り口のなす角のことである．