内積の利用4
2018年1月25日
次は直線と平面の直交の問題です。
1.(広島大)
1辺の長さが1の立方体の3つの辺をOA, OB, OCとし,Oを含む3つの面上にはない頂点をDとする.このとき,ODは三角形ABCに直交することを示せ.
2.(広島大)
図のような立方体の対角線RTの中点をGとし,
とする.
(1) 

を

および

で表せ.
(2) 

は平面QTVに垂直であることを証明せよ.
3.(京都大)
四面体ABCDにおいて

と

,

と

,

と

はそれぞれ垂直であるとする.このとき,頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ.
4.(神戸大)
四面体O-ABCで

とし,

ABCの重心をGとする.

とおく.
(1) 

のとき,3点A, B, Cを含む平面と直線OGは垂直に交わることを示せ.
(2) 3点A, B, Cを含む平面と直線OGが垂直に交わるとき,

であることを示せ.
5.(神戸大)
四面体OABCがあり,

,辺OA, OB, OCの長さはそれぞれ

である.このとき,点Oから三角形ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をPとするとき,Pが三角形ABCの内部 (辺上を含む)にあるための

の条件を求めよ.
6.(早稲田大)
四面体OABCにおいて

である.また,

とする.
(1) 内積

を求めよ.
(2) 

OABを含む平面を

とする.

上の点Pで直線PCと

が直交するものをとる.このとき,

となる

を求めよ.
(3) (2)において,平面

を直線OA, AB, BOで右図のように7つの領域ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キに分ける.点Pはどの領域に入るか答えよ.
(4) 辺ABで

ABCと

OABのなす角は鋭角になるか,直角になるか,それとも鈍角になるかを判定せよ.ただし,1辺を共有する2つの三角形のなす角とは,共有する辺に直交する平面での2つの三角形の切り口のなす角のことである.



→解答
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