内積の利用5

2018年1月25日

次は計量への応用です。ますは長さや切断面の面積の問題から。

1.(福島県立医大)
1辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺OA, BC上にそれぞれD, Eを,\mbox{OD}:\mbox{DA}=2:1,~\mbox{BE}:\mbox{EC}=2:1となるようにとるとき,三角形ODEの面積を求めよ.

2.(九州大)
1辺の長さが1である正四面体OABCを考える.辺OAの中点をP,辺OBを2:1に内分する点をQ,辺OCを1:3に内分する点をRとする.
(1) 線分PQの長さと線分PRの長さを求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{PQ}}\overrightarrow{\mbox{PR}}の内積\overrightarrow{\mbox{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mbox{PR}}を求めよ.
(3) 三角形PQRの面積を求めよ.

3.(大阪市立大)
四面体OABCにおいて,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.0 \leqq t \leqq 1なる実数tに対して,点Pを\overrightarrow{\mbox{OP}}=t\vec{c}により定める.三角形ABPの面積をS(t)とするとき,
(1) S(0)\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(2) S(1)\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(3) O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,1)とするとき,0 \leqq t \leqq 1においてS(t)が最小となるtの値を求めよ.

解答

4.(一橋大)
正四面体OABCの1辺の長さを1とする.辺OAを2:1に内分する点をP,辺OBを1:2に内分する点をQとし,0<t<1を満たすtに対して,辺OCをt:(1-t)に内分する点をRとする.
(1) PQの長さを求めよ.
(2) \bigtriangleupPQRの面積が最小となるときのtの値を求めよ.

5.(長崎大)
xyz空間に点A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,1,1)をとる.点A, B, C, Dを頂点とする四面体Tについて,
(1) z軸上の点(0,0,a)を通り,z軸に垂直な平面でTを切ったときの切り口の頂点P, Q, R, Sの座標を,aを用いて表せ.ただし,a0<a<1なる定数とし,P, Q, R, Sはそれぞれ線分AC, AD, BD, BC上にあるものとする.
(2) (1)における切り口の面積S(a)と,その最大値,およびそのときのaの値を求めよ.

解答

6.(首都大)
立方体ABCD-EFGHにおいて,辺AE, ADの中点をそれぞれP, Qとし,辺DCを\mbox{DR}:\mbox{RC}=2:1に内分する点Rをとる.さらに\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{EF}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{EH}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{EA}}とおく.
(1) ベクトル\overrightarrow{\mbox{QP}}および\overrightarrow{\mbox{QR}}をそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 三角形PQRにおいて,\theta=\angle\mbox{PQR}として,\cos\thetaの値を求めよ.
(3) この立方体の1辺の長さを1とする.点P, Q, Rを通る平面をXとして,点Eと平面Xの距離lの値を求めよ.

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