内積の利用６

2018年1月11日2018年1月25日

切り口の面積の発展問題です。ここまでやってきたことを色々と利用します。これくらいのものができれば問題ないでしょう。

１．(慶応大)
四面体OABCの4つの面はすべて合同であり， $\mbox{OA}=\sqrt{10},~\mbox{OB}=2,~\mbox{OC}=3$ であるとする．このとき， $\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}=(~~~~~)$ であり，三角形ABCの面積は(　　)である．
いま，3点A, B, Cを通る平面を $\alpha$ とし，点Oから平面 $\alpha$ に垂線OHを下ろす． $\overrightarrow{\mbox{AH}}$ は $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を用いて $\overrightarrow{\mbox{AH}}=(~~~~~)$ と表される．また，四面体OABCの体積は(　　)である．
次に，線分AHと線分BCの交点をP，点Pから線分ACに下ろした垂線をPQとすると，PQの長さは(　　)である．また，2点P, Qを通り平面 $\alpha$ に垂直な平面による四面体OABCの切り口の面積は(　　)である．

２．(東京大)
四面体OABCにおいて，4つの面はすべて合同であり， $\mbox{OA}=3,~\mbox{OB}=\sqrt{7},~\mbox{AB}=2$ であるとする．また，3点O, A, Bを含む平面を $L$ とする．
(1) 点Cから平面 $L$ に下ろした垂線の足をHとおく． $\overrightarrow{\mbox{OH}}$ を $\overrightarrow{\mbox{OA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{OB}}$ を用いて表せ．
(2) $0<t<1$ を満たす実数 $t$ に対して，線分OA, OBおのおのを $t:1-t$ に内分する点をそれぞれ $\mbox{P}_t,~\mbox{Q}_t$ とおく．2点 $\mbox{P}_t,~\mbox{Q}_t$ を通り，平面 $L$ に垂直な平面を $M$ とするとき，平面 $M$ による四面体OABCの切り口の面積 $S(t)$ を求めよ．
(3) $t$ が $0<t<1$ の範囲を動くとき， $S(t)$ の最大値を求めよ．