内積の利用6

2018年1月25日

切り口の面積の発展問題です。ここまでやってきたことを色々と利用します。これくらいのものができれば問題ないでしょう。

1.(慶応大)
四面体OABCの4つの面はすべて合同であり,\mbox{OA}=\sqrt{10},~\mbox{OB}=2,~\mbox{OC}=3であるとする.このとき,\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}=(~~~~~)であり,三角形ABCの面積は(  )である.
いま,3点A, B, Cを通る平面を\alphaとし,点Oから平面\alphaに垂線OHを下ろす.\overrightarrow{\mbox{AH}}\overrightarrow{\mbox{AB}}\overrightarrow{\mbox{AC}}を用いて\overrightarrow{\mbox{AH}}=(~~~~~)と表される.また,四面体OABCの体積は(  )である.
次に,線分AHと線分BCの交点をP,点Pから線分ACに下ろした垂線をPQとすると,PQの長さは(  )である.また,2点P, Qを通り平面\alphaに垂直な平面による四面体OABCの切り口の面積は(  )である.

2.(東京大)
四面体OABCにおいて,4つの面はすべて合同であり,\mbox{OA}=3,~\mbox{OB}=\sqrt{7},~\mbox{AB}=2であるとする.また,3点O, A, Bを含む平面をLとする.
(1) 点Cから平面Lに下ろした垂線の足をHとおく.\overrightarrow{\mbox{OH}}\overrightarrow{\mbox{OA}}\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表せ.
(2) 0<t<1を満たす実数tに対して,線分OA, OBおのおのをt:1-tに内分する点をそれぞれ\mbox{P}_t,~\mbox{Q}_tとおく.2点\mbox{P}_t,~\mbox{Q}_tを通り,平面Lに垂直な平面をMとするとき,平面Mによる四面体OABCの切り口の面積S(t)を求めよ.
(3) t0<t<1の範囲を動くとき,S(t)の最大値を求めよ.

解答

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