内積の利用7

2018年1月25日

次は四角柱を切断したときの切断面の問題です。

1.(東京理科大)
座標空間において,頂点が(0,0,0),~(1,0,0),~(0,1,0),~(0,0,1),~(1,1,0),~(1,0,1),~(0,1,1),~(1,1,1)の立方体をCとする.また,a>0として,3点(0,0,0),~\left(1,0,\dfrac{a}{2}\right),~\left(0,1,\dfrac{a}{2}\right)を通る平面を\alphaとする.このとき,立方体Cと平面\alphaの共通部分の図形をPとすると,Pは多角形となる.
(1) 0 < a \leqq (~~~~~)のとき,Pは(  )角形であり,その面積は(  )である.
(2) (~~~~~) < a \leqq (~~~~~)のとき,Pは(  )角形である.
(3) (~~~~~) \leqq aのとき,Pは(  )角形であり,その面積は(  )である.

解答

2.(静岡大)
直方体OADB-CEGFにおいて,各辺OA, OB, OCの長さはそれぞれ2, 2, 1である.ベクトル\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}をそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表すことにして,次の問いに答えよ.
(1) 点Tが辺CF上にあり,線分CT, TFの長さの比がt:(1-t)であるとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OT}}\vec{b},~\vec{c}tで表せ.ただし,0 \leqq t \leqq 1とする.
(2) (1)のTについて,\bigtriangleupOTGの面積をtで表せ.
(3) 対角線OGを含む平面でこの直方体を切るとき,切り口の面積の最大値および最小値を求めよ.

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