内積の利用8

2018年1月25日

四面体、五面体の体積の計量の問題です。

1.(大阪教育大)
座標空間において,3点A(0,-1,2), B(-1,0,5), C(1,1,3)の定める平面を\alphaとし,原点Oから平面\alphaに垂線OHを下ろす.
(1) \bigtriangleupABCの面積を求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AH}}=s\overrightarrow{\mbox{AB}}+t\overrightarrow{\mbox{AC}}を満たすs,~tを求めよ.
(3) 点Hの座標を求めよ.
(4) 四面体OABCの体積を求めよ.

2.(大分大)
空間内に4点A(0,0,0), B(2,1,1), C(-2,2,-4), D(1,2,-4)がある.
(1) \angleBAC=\thetaとおくとき,\cos\thetaの値と\bigtriangleupABCの面積を求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AB}}\overrightarrow{\mbox{AC}}の両方に垂直なベクトルを1つ求めよ.
(3) 点Dから,3点A, B, Cを含む平面に垂直な直線を引き,その交点をEとするとき,線分DEの長さを求めよ.
(4) 四面体ABCDの体積を求めよ.

3.(岐阜薬科大)
空間内に5点A(1,1,1), B(-1,2,2), C(0,1,3), D(2,0,2), E(3,3,2)がある.
(1) \overrightarrow{\mbox{AB}}=\overrightarrow{\mbox{DC}}であることを示せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AB}}\overrightarrow{\mbox{AD}}のなす角を\thetaとするとき,\cos\thetaの値を求めよ.
(3) \overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AD}}のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ.
(4) 五面体ABCDEの体積を求めよ.

4.(九州大)
t0 \leqq t \leqq 1を満たす数とし,空間内の4点A(t,0,1), B(1,t,0), C(0,1,t), P\left(\dfrac{4}{9}t,\dfrac{4}{9}t,\dfrac{4}{9}t\right)を考える.
(1) \bigtriangleupABCは正三角形であることを示し,その面積S(t)を求めよ.
(2) \bigtriangleupABCの重心をGとする.\overrightarrow{\mbox{PG}}\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}}の両方に垂直であることを示せ.
(3) 四面体PABCの体積V(t)を求めよ.また,V(t)の最小値とその最小値を与えるtの値を求めよ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ