内積の利用８

2018年1月12日2018年1月25日

四面体、五面体の体積の計量の問題です。

１．(大阪教育大)
座標空間において，3点A $(0,-1,2)$ , B $(-1,0,5)$ , C $(1,1,3)$ の定める平面を $\alpha$ とし，原点Oから平面 $\alpha$ に垂線OHを下ろす．
(1) $\bigtriangleup$ ABCの面積を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{AH}}=s\overrightarrow{\mbox{AB}}+t\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を満たす $s,~t$ を求めよ．
(3) 点Hの座標を求めよ．
(4) 四面体OABCの体積を求めよ．

２．(大分大)
空間内に4点A $(0,0,0)$ , B $(2,1,1)$ , C $(-2,2,-4)$ , D $(1,2,-4)$ がある．
(1) $\angle$ BAC $=\theta$ とおくとき， $\cos\theta$ の値と $\bigtriangleup$ ABCの面積を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{AC}}$ の両方に垂直なベクトルを1つ求めよ．
(3) 点Dから，3点A, B, Cを含む平面に垂直な直線を引き，その交点をEとするとき，線分DEの長さを求めよ．
(4) 四面体ABCDの体積を求めよ．

３．(岐阜薬科大)
空間内に5点A $(1,1,1)$ , B $(-1,2,2)$ , C $(0,1,3)$ , D $(2,0,2)$ , E $(3,3,2)$ がある．
(1) $\overrightarrow{\mbox{AB}}=\overrightarrow{\mbox{DC}}$ であることを示せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{AD}}$ のなす角を $\theta$ とするとき， $\cos\theta$ の値を求めよ．
(3) $\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AD}}$ のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ．
(4) 五面体ABCDEの体積を求めよ．

４．(九州大)
$t$ を $0 \leqq t \leqq 1$ を満たす数とし，空間内の4点A $(t,0,1)$ , B $(1,t,0)$ , C $(0,1,t)$ , P $\left(\dfrac{4}{9}t,\dfrac{4}{9}t,\dfrac{4}{9}t\right)$ を考える．
(1) $\bigtriangleup$ ABCは正三角形であることを示し，その面積 $S(t)$ を求めよ．
(2) $\bigtriangleup$ ABCの重心をGとする． $\overrightarrow{\mbox{PG}}$ は $\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}}$ の両方に垂直であることを示せ．
(3) 四面体PABCの体積 $V(t)$ を求めよ．また， $V(t)$ の最小値とその最小値を与える $t$ の値を求めよ．