内積の利用9

2018年1月25日

8の続きです。8は成分表示 (数ベクトル)が分かる場合でしたが、今度は矢線ベクトルの場合です。

1.(東北大)
四面体OABCにおいて,\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=1とする.\angle\mbox{AOB}=60^{\circ},~\angle\mbox{BOC}=45^{\circ},~\angle\mbox{COA}=45^{\circ}とし,\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}とおく.点Cから面OABに垂線を引き,その交点をHとする.
(1) ベクトル\overrightarrow{\mbox{OH}}\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.
(2) CHの長さを求めよ.
(3) 四面体OABCの体積を求めよ.

2.(佐賀大)
各辺の長さが1の正四面体をPABCとし,Aから平面PBCへ下ろした垂線の足をHとする.\overrightarrow{\mbox{PA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{PB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{c}とおく.
(1) 内積\vec{a}\cdot\vec{b},~\vec{a}\cdot\vec{c},~\vec{b}\cdot\vec{c}を求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{PH}}\vec{b}\vec{c}を用いて表せ.
(3) 正四面体PABCの体積を求めよ.

3.(京都大)
四面体OABCにおいて,点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}\bot\overrightarrow{\mbox{BC}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}\bot\overrightarrow{\mbox{OC}},~|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=2,~|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=|\overrightarrow{\mbox{OC}}|=3,~|\overrightarrow{\mbox{AB}}|=\sqrt{7}のとき,|\overrightarrow{\mbox{OH}}|を求めよ.

解答

4.(東京学芸大)
空間内の4点O, A, B, Cに対して,\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}をそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}とする.これらのベクトルの内積が\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{b}\cdot\vec{b}=\vec{c}\cdot\vec{c}=1,~\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{\sqrt{2}},~\vec{b}\cdot\vec{c}=\dfrac{1}{\sqrt{2}},~\vec{c}\cdot\vec{a}=\dfrac{1}{3}をみたすとき
(1) 点Cを通り三角形OABを含む平面に垂直な直線がこの平面と交わる点をDとするとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{CD}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 四面体OABCの体積を求めよ.

5.(一橋大)
四面体OAPQにおいて,|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=1,~\overrightarrow{\mbox{OA}} \bot \overrightarrow{\mbox{OP}},~\overrightarrow{\mbox{OP}} \bot \overrightarrow{\mbox{OQ}},~\overrightarrow{\mbox{OA}} \bot \overrightarrow{\mbox{OQ}}で,\angle\mbox{PAQ}=30^{\circ}である.
(1) \bigtriangleupAPQの面積Sを求めよ.
(2) |\overrightarrow{\mbox{OP}}|のとりうる範囲を求めよ.
(3) 四面体OAPQの体積Vの最大値を求めよ.

6.(広島大)
空間内に四面体OABCがある.Oは原点で,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}は以下の条件を満たしているものとする.
|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=1,~|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=2,~|\overrightarrow{\mbox{OC}}|=3,\\ \overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}=1,~\overrightarrow{\mbox{OB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OC}}=a,~\overrightarrow{\mbox{OC}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OA}}=1
ただし,aは実数とする.
(1) 三角形OABの面積を求めよ.
(2) ベクトルp\overrightarrow{\mbox{OA}}+q\overrightarrow{\mbox{OB}}-\overrightarrow{\mbox{OC}}\overrightarrow{\mbox{OA}}および\overrightarrow{\mbox{OB}}と直交するような実数p,~qaを用いて表せ.
(3) 四面体OABCの体積が最大となるようなa,およびそのときの体積を求めよ.

解答

7.(東京工業大)
四面体OABCにおいて,\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=\mbox{BC}=1,~\mbox{AB}=\mbox{AC}=xとする.頂点Oから平面ABCに垂線を下ろし,平面ABCとの交点をHとする.頂点Aから平面OBCに垂線を下ろし,平面OBCとの交点をH’とする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とし,\overrightarrow{\mbox{OH}}=p\vec{a}+q\vec{b}+r\vec{c},~\overrightarrow{\mbox{OH'}}=s\vec{b}+t\vec{c}と表す.このとき,p,~q,~rおよびs,~txの式で表せ.
(2) 四面体OABCの体積Vxの式で表せ.また,xが変化するときのVの最大値を求めよ.

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