内積の利用１０
次は等面四面体の計量の問題です。
１．(埼玉大)
次の条件を満たす四面体ABCDを考える．
(1) 
を求めよ．
(2) 点Dから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線の足をHとする．
を
を用いて表せ．
(3) 四面体ABCDの体積を求めよ．
→解答
２．(九州工業大)
四面体OABCの面はすべて合同であり，
である．
として，次の問いに答えよ．
(1) 内積
および
を求めよ．
(2) 3点O, A, Bの定める平面を
とし，上の点Hを直線CHとが垂直になるように選ぶ．
を
を用いて表せ．
(3) (2)の点Hに対して，線分CHの長さを求めよ．
(4) 四面体OABCの体積
を求めよ．また，辺OCの中点をDとし，さらに辺OB上に点Eを
が最小となるようにとる．このとき，四面体OAEDの体積
を求めよ．
３．(東京工業大)
空間内の四面体ABCDを考える．辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれK, L, M, Nとする．
(1) 
を示せ．ここに
はベクトル
の長さを表す．
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする．このとき，
を示せ．
(3) 辺ACの中点をPとし，
とする．(2)の仮定のもとで，四面体PKLNの体積を求めよ．
４．(東北大)
を実数とする．座標平面において，2点A
, B
, P
を頂点とする三角形ABPを考える．
(1) 三角形ABPが鋭角三角形となるような
の範囲を求めよ．
(2) 三角形ABPの垂心の座標を求めよ．
(3) 辺AB, BP, PAの中点をそれぞれM, Q, Rとおく．が(1)で求めた範囲を動くとき，三角形ABPを線分MQ, QR, RMで折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときのの値を求めよ．
