内積の利用10

2018年1月25日

次は等面四面体の計量の問題です。

1.(埼玉大)
次の条件を満たす四面体ABCDを考える.
\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}=2,~\overrightarrow{\mbox{AC}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AD}}=4,~\overrightarrow{\mbox{AD}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AB}}=3,\\ |\overrightarrow{\mbox{BC}}|=\sqrt{7},~|\overrightarrow{\mbox{CD}}|=\sqrt{5},~|\overrightarrow{\mbox{DB}}|=\sqrt{6}
(1) |\overrightarrow{\mbox{AB}}|,~|\overrightarrow{\mbox{AC}}|,~|\overrightarrow{\mbox{AD}}|を求めよ.
(2) 点Dから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線の足をHとする.\overrightarrow{\mbox{DH}}\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}},~\overrightarrow{\mbox{AD}}を用いて表せ.
(3) 四面体ABCDの体積を求めよ.

解答

2.(九州工業大)
四面体OABCの面はすべて合同であり,\mbox{OA}=5,~\mbox{OB}=8,~\mbox{AB}=7である.\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}として,次の問いに答えよ.
(1) 内積\vec{a} \cdot \vec{b},~\vec{b} \cdot \vec{c}および\vec{c} \cdot \vec{a}を求めよ.
(2) 3点O, A, Bの定める平面を\alphaとし,\alpha上の点Hを直線CHと\alphaが垂直になるように選ぶ.\overrightarrow{\mbox{OH}}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(3) (2)の点Hに対して,線分CHの長さを求めよ.
(4) 四面体OABCの体積V_1を求めよ.また,辺OCの中点をDとし,さらに辺OB上に点Eを\mbox{AE}+\mbox{ED}が最小となるようにとる.このとき,四面体OAEDの体積V_2を求めよ.

3.(東京工業大)
空間内の四面体ABCDを考える.辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれK, L, M, Nとする.
(1) 4\overrightarrow{\mbox{MK}}\cdot\overrightarrow{\mbox{LN}}=|\overrightarrow{\mbox{AC}}|^2-|\overrightarrow{\mbox{BD}}|^2を示せ.ここに|\overrightarrow{\mbox{AC}}|はベクトル\overrightarrow{\mbox{AC}}の長さを表す.
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする.このとき,|\overrightarrow{\mbox{AC}}|=|\overrightarrow{\mbox{BD}}|,~|\overrightarrow{\mbox{BC}}|=|\overrightarrow{\mbox{AD}}|,~|\overrightarrow{\mbox{AB}}|=|\overrightarrow{\mbox{CD}}|を示せ.
(3) 辺ACの中点をPとし,|\overrightarrow{\mbox{AB}}|=\sqrt{3},~|\overrightarrow{\mbox{BC}}|=\sqrt{5},~|\overrightarrow{\mbox{CA}}|=\sqrt{6}とする.(2)の仮定のもとで,四面体PKLNの体積を求めよ.

4.(東北大)
t>0を実数とする.座標平面において,2点A(-2,0), B(2,0), P(t,\sqrt{3}t)を頂点とする三角形ABPを考える.
(1) 三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ.
(2) 三角形ABPの垂心の座標を求めよ.
(3) 辺AB, BP, PAの中点をそれぞれM, Q, Rとおく.tが(1)で求めた範囲を動くとき,三角形ABPを線分MQ, QR, RMで折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときのtの値を求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ