内積の利用11

2018年1月25日

立体の貼り合わせの問題です。

1.(東京大)
xyz空間に3点A(1,0,0), B(-1,0,0), C(0,\sqrt{3},0)をとる.\bigtriangleupABCを1つの面とし,z \geqq 0の部分に含まれる正四面体ABCDをとる.さらに\bigtriangleupABDを1つの面とし,点Cと異なる点Eをもう1つの頂点とする正四面体ABDEをとる.
(1) 点Eの座標を求めよ.
(2) 正四面体ABDEのy \leqq 0の部分の体積を求めよ.

解答

2.(宮崎大)
すべての辺の長さが1の四角錐がある.この四角錐の頂点をO,底面を正方形ABCDとし,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.このとき,
(1) \overrightarrow{\mbox{OD}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 内積\vec{a}\cdot\vec{b},~\vec{b}\cdot\vec{c},~\vec{c}\cdot\vec{a}をそれぞれ求めよ.
(3) 点P, O, B, Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて,\overrightarrow{\mbox{OP}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.

3.(慶応大)
ABCDEを,1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし,4個の正三角形を側面とする正四角錐とする.
(1) \bigtriangleupCDEの重心をGとする.ベクトル\overrightarrow{\mbox{AG}}\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AD}},~\overrightarrow{\mbox{AE}}で表せ.
(2) \vec{0}でないベクトル\vec{p}が平面\alpha上の任意のベクトルと垂直なとき,\vec{p}は平面\alphaと垂直であるという.\vec{p}=a\overrightarrow{\mbox{AB}}+b\overrightarrow{\mbox{AD}}+c\overrightarrow{\mbox{AE}} (a,~b,~cは実数)が\bigtriangleupCDEを含む平面と垂直なとき,a:b:c=(~~~~~)である.よって,|\vec{p}|=1かつ\vec{p}\cdot\overrightarrow{\mbox{AD}}>0となるようにa,~b,~cを定めると,\vec{p}=(~~~~~)である.
(3) 正四角錐ABCDEの\bigtriangleupCDEに,各辺の長さが1の正四面体CDEFを貼り付ける.ベクトル\overrightarrow{\mbox{AF}}\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AD}},~\overrightarrow{\mbox{AE}}で表せ.また,Hを辺ECの中点とすると,\overrightarrow{\mbox{HA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{HF}}=(~~~~)であり,\bigtriangleupAHFの面積は(  )である.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ