内積の利用１１

2018年1月13日2018年1月25日

立体の貼り合わせの問題です。

１．(東京大)
$xyz$ 空間に3点A $(1,0,0)$ , B $(-1,0,0)$ , C $(0,\sqrt{3},0)$ をとる． $\bigtriangleup$ ABCを1つの面とし， $z \geqq 0$ の部分に含まれる正四面体ABCDをとる．さらに $\bigtriangleup$ ABDを1つの面とし，点Cと異なる点Eをもう1つの頂点とする正四面体ABDEをとる．
(1) 点Eの座標を求めよ．
(2) 正四面体ABDEの $y \leqq 0$ の部分の体積を求めよ．

→解答

２．(宮崎大)
すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とする．このとき，
(1) $\overrightarrow{\mbox{OD}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(2) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b},~\vec{b}\cdot\vec{c},~\vec{c}\cdot\vec{a}$ をそれぞれ求めよ．
(3) 点P, O, B, Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて， $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．

３．(慶応大)
ABCDEを，1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし，4個の正三角形を側面とする正四角錐とする．
(1) $\bigtriangleup$ CDEの重心をGとする．ベクトル $\overrightarrow{\mbox{AG}}$ を $\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AD}},~\overrightarrow{\mbox{AE}}$ で表せ．
(2) $\vec{0}$ でないベクトル $\vec{p}$ が平面 $\alpha$ 上の任意のベクトルと垂直なとき， $\vec{p}$ は平面 $\alpha$ と垂直であるという． $\vec{p}=a\overrightarrow{\mbox{AB}}+b\overrightarrow{\mbox{AD}}+c\overrightarrow{\mbox{AE}}$ ( $a,~b,~c$ は実数)が $\bigtriangleup$ CDEを含む平面と垂直なとき， $a:b:c=(~~~~~)$ である．よって， $|\vec{p}|=1$ かつ $\vec{p}\cdot\overrightarrow{\mbox{AD}}>0$ となるように $a,~b,~c$ を定めると， $\vec{p}=(~~~~~)$ である．
(3) 正四角錐ABCDEの $\bigtriangleup$ CDEに，各辺の長さが1の正四面体CDEFを貼り付ける．ベクトル $\overrightarrow{\mbox{AF}}$ を $\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AD}},~\overrightarrow{\mbox{AE}}$ で表せ．また，Hを辺ECの中点とすると， $\overrightarrow{\mbox{HA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{HF}}=(~~~~)$ であり， $\bigtriangleup$ AHFの面積は(　　)である．

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