内積の利用１２

2018年1月13日2018年1月25日

四面体と内接球の問題です。

１．(早稲田大)
空間に点Oと三角錐ABCDがあり， $\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=1,~\mbox{OD}=\sqrt{5},~\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{BOC}=\angle\mbox{COA},~\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}=\vec{0}$ を満たしている．三角錐ABCDに内接する球の半径を求めよ．

→解答

２．(東京農工大)
Oを原点とする座標空間にある，中心C $(1,1,\sqrt{10})$ ，半径 $3\sqrt{3}$ の球面を $S$ とする．
(1) $S$ と $x$ 軸の正の部分との交点をPとし， $S$ と $y$ 軸の正の部分との交点をQとする．P, Qの座標を求めよ．
(2) 2点O, Cを通る直線と $S$ との交点のうち， $z$ 座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3) 四面体OPQRの体積 $V$ を求めよ．
(4) 4点O, P, Q, Rを通る球面の半径 $r_1$ を求めよ．
(5) 四面体OPQRに内接する球面の半径を $r_2$ とする．このとき， $\dfrac{r_1}{r_2}$ の値を求めよ．