内積の利用12

2018年1月25日

四面体と内接球の問題です。

1.(早稲田大)
空間に点Oと三角錐ABCDがあり,\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=1,~\mbox{OD}=\sqrt{5},~\angle\mbox{AOB}=\angle\mbox{BOC}=\angle\mbox{COA},~\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}=\vec{0}を満たしている.三角錐ABCDに内接する球の半径を求めよ.

解答

2.(東京農工大)
Oを原点とする座標空間にある,中心C(1,1,\sqrt{10}),半径3\sqrt{3}の球面をSとする.
(1) Sx軸の正の部分との交点をPとし,Sy軸の正の部分との交点をQとする.P, Qの座標を求めよ.
(2) 2点O, Cを通る直線とSとの交点のうち,z座標が正であるものをRとする.Rの座標を求めよ.
(3) 四面体OPQRの体積Vを求めよ.
(4) 4点O, P, Q, Rを通る球面の半径r_1を求めよ.
(5) 四面体OPQRに内接する球面の半径をr_2とする.このとき,\dfrac{r_1}{r_2}の値を求めよ.

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