内積の利用13

2018年1月25日

最後に図形の証明問題をいくつか。

1.(岩手大)
四面体ABCDを考える.\bigtriangleupABCと\bigtriangleupABDは正三角形であり,ACとBDとは垂直である.
(1) BCとADも垂直であることを示せ.
(2) 四面体ABCDは正四面体であることを示せ.

2.(東京学芸大)
直方体の隣り合う3辺をOA, OB, OCとし,\overrightarrow{\mbox{OD}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}を満たす頂点をDとする.線分ODが三角形ABCと直交するとき,この直方体は立方体であることを証明せよ.

3.(京都大)
点Oを中心とする半径1上の球面上に4点A, B, C, Dがあって,\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}=\vec{0}が成り立っているとする.
(1) |\overrightarrow{\mbox{AB}}|=|\overrightarrow{\mbox{CD}}|であることを示せ.
(2) 点B’, D’を\overrightarrow{\mbox{OB'}}=-\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OD'}}=-\overrightarrow{\mbox{OD}}となるようにとる.このとき,A, B’, C, D’が互いに異なるならば,これら4点は,この順で,ある長方形の頂点となっていることを示せ.

解答

4.(東北大)
四面体ABCDにおいて,辺ABの中点をM,辺CDの中点をNとする.
(1) 等式\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}=\overrightarrow{\mbox{PC}}+\overrightarrow{\mbox{PD}}を満たす点Pは存在するか,証明をつけて答えよ.
(2) 点Qが等式|\overrightarrow{\mbox{QA}}+\overrightarrow{\mbox{QB}}|=|\overrightarrow{\mbox{QC}}+\overrightarrow{\mbox{QD}}|を満たしながら動くとき,点Qが描く図形を求めよ.
(3) 点Rが等式|\overrightarrow{\mbox{RA}}|^2+|\overrightarrow{\mbox{RB}}|^2=|\overrightarrow{\mbox{RC}}|^2+|\overrightarrow{\mbox{RD}}|^2を満たしながら動くとき,内積\overrightarrow{\mbox{MN}}\cdot\overrightarrow{\mbox{MR}}は,Rのとり方によらず一定であることを示せ.
(4) (2)の点Qが描く図形と(3)の点Rが描く図形が一致するための必要十分条件は|\overrightarrow{\mbox{AB}}|=|\overrightarrow{\mbox{CD}}|であることを示せ.

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