位置ベクトル

2018年1月14日

位置ベクトルの問題です。基本は平面のときと同じです。

1.
4点ABCDを頂点とする四面体において,\bigtriangleupBCDの重心を\mbox{G}_1とし,線分\mbox{AG}_13:1の比に内分する点をGとする.\mbox{A},~\mbox{B},~\mbox{C},~\mbox{D},~\mbox{G}_1の位置ベクトルをそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c},~\vec{d},~\vec{g_1}とするとき
(1) Gの位置ベクトル\vec{g}を求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{GA}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}+\overrightarrow{\mbox{GD}}=\vec{0}を示せ.
(3) 4つの頂点と対面の重心を結んだ線分は1点で交わることを示せ.

2.(愛知教育大)
空間内に3点A(2,3,1), B(1,5,-2), C(4,4,0)がある.3点A, B, Cを含む平面上で,ACを1辺とする正三角形の他の頂点の座標を求めよ.

3.(大阪歯科大)
正四面体OABCの底面\bigtriangleupABCの重心をGとすると,直線OGは,底面に垂直であることを証明し,逆に頂点Oから底面\bigtriangleupABCへ下ろした垂線の足をHとすると,Hが\bigtriangleupABCの重心であることを証明せよ.

4.(慶応大)
1辺の長さが1である正四面体OABCの4辺OA, AB, BC, COの中点をそれぞれP, Q, R, Sとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.このとき,\overrightarrow{\mbox{PQ}},~\overrightarrow{\mbox{PR}},~\overrightarrow{\mbox{PS}}をそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 4点P, Q, R, Sは同一平面上にあることを示せ.
(3) 四角形PQRSは正方形であることを示せ.

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