直線のベクトル方程式

空間内の直線のベクトル方程式の問題です。まずは直線の媒介変数表示から。

1.((2) 立命館大 (3) 防衛医大)
(1) ベクトル\left( \begin{array}{r} -2\\ 1\\ 3 \end{array} \right)に平行で点(1,-3,2)を通る直線は,((~~~~~),-5,(~~~~~))を通る.
(2) xyz空間において,点(3,5,6)を通り,ベクトル\vec{u}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 2\\ -1 \end{array} \right)に平行な直線とyz平面との交点の座標を求めよ.
(3) 座標空間の2点A(4,5,2), B(10,15,4)を通る直線がxz平面およびxy平面と交わる点をそれぞれP, Qとする.線分PQの長さを求めよ.

2.(防衛医大)
座標空間の直線l_1は2点A(2,0,0)とB(0,1,1)を通る.直線l_2は2点C(3,3,0)とD(0,0,a)を通り,l_1と交わっている.aの値はいくらか.

次はある点から直線に垂線を下ろす問題です。

3.((1) 京都大 (2) 日本女子大)
(1) xyz空間上の2点A(-3,-1,1), B(-1,0,0)を通る直線lに点C(2,3,3)から下ろした垂線の足Hの座標を求めよ.
(2) 空間内の2点A(1,0,0)とB(0,1,1)を結ぶ線分上を点Pが動くとき,原点からPまでの距離が最小となる点Pの座標と,そのときの距離を求めよ.

4.(星薬科大)
直線g:\left( \begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} 3\\ 1\\ 2 \end{array} \right)+t\left( \begin{array}{r} 2\\ 2\\ 1 \end{array} \right)と点A(2,-3,3)について,
(1) 点Aと直線gとの最短距離をdとするとき,dを与えるg上の点Hの座標およびdを求めよ.
(2) 直線gに関して点Aと対称な点Bの座標を求めよ.

次もよくある問題です。ねじれの位置にある2直線のそれぞれの直線上の2点の間の距離の最小値の問題です。

5.(京都大)
座標空間で点(3,4,0)を通りベクトル\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right)に平行な直線をl,点(2,-1,0)を通りベクトル\vec{b}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -2\\ 0 \end{array} \right)に平行な直線をmとする.点Pは直線l上を,点Qは直線m上を勝手に動くとき,線分PQの長さの最小値を求めよ.

6.(立教大)
2直線l,~mが,それぞれ媒介変数s,~tを用いて次のように表されている.
l:x=2s+5,~y=2s+3,~z=s-2
m:x=-2t+4,~y=t-1,~z=2t-1
(1) Pを直線l上の点,Qを直線m上の点とする.線分PQの長さの最小値を求めよ.
(2) 2直線l,~mはねじれの位置にあることを示せ.

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