平面のベクトル方程式2

2018年1月25日

次は空間内の点から空間内の平面に垂線を下ろす問題です。まずは直線と平面が直交するということがどういう状況かを理解しておかなければなりません。

1.((1) 慶応大 (2) 名古屋工業大)
(1) 4点O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,2,0), C(2,1,3)がある.点Oから\bigtriangleupABCに引いた垂線OHの長さを求めよ.
(2) 3つのベクトルを\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 2\\ 1\\ -1 \end{array} \right),~ \vec{b}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1 \end{array} \right),~ \vec{c}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 3\\ -1 \end{array} \right)とする.2つの実数s,~tに対して,|\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}|の最小値を求めよ.

2.(芝浦工業大)
Oを原点とし,x軸,y軸,z軸を座標軸とする座標空間において,中心がxy平面上にあり,半径が3\sqrt{3}の球面がある.この球面上に2点A(1,3,5), B(-1,1,3)があるとき,この球の中心Cの座標は(  )である.また,この球面と3点O, A, Bを通る平面が交わる部分は円である.この円で囲まれた部分を底面とし,Cを頂点とする円すいの体積は(  )である.

3.(立命館大)
空間において,3点A(0,0,2), B(1,0,1), C(0,1,3)を通る平面\piがある.\bigtriangleupABCの面積は(  )である.aを定数とし,点P(a,a+4,0)から平面\piに垂線lを下ろすと,l\piの交点Hの座標は(  )であり,点Hが\bigtriangleupABCの内部にあるためのaの条件は(  )である.

4.(東京理科大)
4点O(0,0,0), A(1,2,0), B(2,0,-1), C(0,-2,4)を頂点とする四面体OABCについて考える.
(1) 点D(3,-2,7)に対し,直線ODと\bigtriangleupABCの交点の座標は(  )である.
(2) 頂点Oから\bigtriangleupABCに垂線OHを下ろしたとき,点Hの座標は(  )であり,このときの\overrightarrow{\mbox{OH}}の大きさは(  )である.さらに\bigtriangleupABCの面積は(  )であり,四面体OABCの体積は(  )である.

5.(同志社大)
座標空間内の2点A(0,1,5), B(5,6,0)を通る直線lとする.点P(4,8,13)および直線l上の2点Q, Rを頂点とする\bigtriangleupPQRが正三角形であるとする.
(1) 直線lに,点Pから垂線を下ろし,直線lとの交点をHとする.点Hの座標を求めよ.
(2) 正三角形\bigtriangleupPQRの一辺の長さを求めよ.
(3) 四面体PQRSが正四面体になるようなすべての点Sの座標を求めよ.

6.(九州大)
Oを原点とするxyz空間内の点A, B, CをそれぞれA(-1,2,3), B(0,1,2), C(0,1,0)とし,2点A, Bを通る直線をlとする.
(1) 点Pは直線l上を動き,点Qはy軸上を動くものとする.このとき,2点PとQとの距離の最小値を求めよ.また,PとQとの距離が最小となるときのPとQをそれぞれ\mbox{P}_0,~\mbox{Q}_0とする.\mbox{P}_0\mbox{Q}_0の座標を求めよ.
(2) \mbox{P}_0との距離がsであるような直線l上の点の1つをSとする.点Sから三角形\mbox{P}_0\mbox{Q}_0\mbox{C}を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき,線分SRの長さを求めよ.
(3) y軸上に長さkの線分DEがあり,直線l上に長さmの線分FGがある.四面体DEFGの体積を求めよ.

解答

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