平面のベクトル方程式４

2018年1月14日

３の続きです。平面上の三角形に続き、平面上の円がからんだ問題です。

１．(大阪市立大)
空間内に4点A $(-2,0,0)$ , B $(0,2,0)$ , C $(0,0,2)$ , D $(2,-1,0)$ がある．3点A, B, Cを含む平面を $T$ とする．
(1) 点Dから平面 $T$ に下ろした垂線の足Hの座標を求めよ．
(2) 平面 $T$ において，3点A, B, Cを通る円 $S$ の中心の座標と半径を求めよ．
(3) 点Pが円 $S$ の周上を動くとき，線分DPの長さが最小になるPの座標を求めよ．

２．(岩手大)
点A $(3,1,4)$ を通り，ベクトル $\vec{n}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2 \end{array} \right)$ に垂直な平面を $\pi$ とする． $\pi$ 上にAを中心とし半径が1の円 $C$ がある． $C$ 上を点Pが動くとき，線分OPの長さの最小値とそのときのPの座標を求めよ．

３．(大阪大)
$xyz$ 空間において， $xy$ 平面上に原点を中心とする半径2の円 $C$ がある．また，点 $(0,1,0)$ を通りベクトル $(1,1,-2)$ に平行な直線を $l$ とする．この $l$ 上の動点Pから最短距離にある $C$ 上の点をQとする．点Pが $l$ の全体を動くとき，点Qが動く範囲を図示せよ．

４．(信州大)
$xyz$ 座標空間において原点をO $(0,0,0)$ とする．3点A $(1,\sqrt{3},0)$ , B $(-1,\sqrt{3},0)$ , D $(0,\sqrt{3},0)$ をとる．O, A, Bを3頂点として，第4の頂点Cの $z$ 座標が正となるような正四面体OABCを考える．
(1) 点Cの座標を求めよ．
(2) 三角形ODC上にOを中心とする半径1の円弧EFがある．動点Pが円弧EF上を動くとき，2つのベクトル $\overrightarrow{\mbox{PA}},~\overrightarrow{\mbox{PC}}$ の内積の最小値を求めよ．