平面のベクトル方程式4

3の続きです。平面上の三角形に続き、平面上の円がからんだ問題です。

1.(大阪市立大)
空間内に4点A(-2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2), D(2,-1,0)がある.3点A, B, Cを含む平面をTとする.
(1) 点Dから平面Tに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ.
(2) 平面Tにおいて,3点A, B, Cを通る円Sの中心の座標と半径を求めよ.
(3) 点Pが円Sの周上を動くとき,線分DPの長さが最小になるPの座標を求めよ.

2.(岩手大)
点A(3,1,4)を通り,ベクトル\vec{n}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2 \end{array} \right)に垂直な平面を\piとする.\pi上にAを中心とし半径が1の円Cがある.C上を点Pが動くとき,線分OPの長さの最小値とそのときのPの座標を求めよ.

3.(大阪大)
xyz空間において,xy平面上に原点を中心とする半径2の円Cがある.また,点(0,1,0)を通りベクトル(1,1,-2)に平行な直線をlとする.このl上の動点Pから最短距離にあるC上の点をQとする.点Pがlの全体を動くとき,点Qが動く範囲を図示せよ.

4.(信州大)
xyz座標空間において原点をO(0,0,0)とする.3点A(1,\sqrt{3},0), B(-1,\sqrt{3},0), D(0,\sqrt{3},0)をとる.O, A, Bを3頂点として,第4の頂点Cのz座標が正となるような正四面体OABCを考える.
(1) 点Cの座標を求めよ.
(2) 三角形ODC上にOを中心とする半径1の円弧EFがある.動点Pが円弧EF上を動くとき,2つのベクトル\overrightarrow{\mbox{PA}},~\overrightarrow{\mbox{PC}}の内積の最小値を求めよ.

5.(東京大)
平面上に点Oを中心とする半径1の円Cがある.また,この平面上のOと異なる点Aを通って直線OAと垂直な空間直線lがあり,平面とのなす角が45°である.このとき円Cと直線lの間の最短距離を2点O, A間の距離aで表せ.

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