平面のベクトル方程式5

2018年1月25日

次は平面に関する対称点や折れ線の長さの最小値を求める問題です。まずは平面に関する対称点を求める問題から。

1.(京都大)
座標空間に4点A(2,1,0), B(1,0,1), C(0,1,2), D(1,3,7)がある.3点A, B, Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき,点Eの座標を求めよ.

次は折れ線の長さの最小値を求める問題です。

2.(鳥取大)
点A(1,2,4)を通り,ベクトル\vec{n}=\left( \begin{array}{r} -3\\ 1\\ 2 \end{array} \right)に垂直な平面を\alphaとする.平面\alphaに関して同じ側に2点P(-2,1,7), Q(1,3,7)がある.
(1) 平面\alphaに関して点Pと対称な点Rの座標を求めよ.
(2) 平面\alpha上の点で,\mbox{PS}+\mbox{QS}を最小にする点Sの座標とそのときの最小値を求めよ.

3.(大阪市立大)
空間内に4点A(0,0,1), B(2,1,0), C(0,2,-1), D(0,2,1)がある.
(1) 点Cから直線ABに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ.
(2) 点Pがxy平面上を動き,点Qが直線AB上を動くとき,距離DP, PQの和DP+PQが最小となるP, Qの座標を求めよ.

4.(福井大)
四面体OABCにおいて,\mbox{OA}=2,~\mbox{OB}=\sqrt{2},~\mbox{OC}=1であり,\angle\mbox{AOB}=\dfrac{\pi}{2},~\angle\mbox{AOC}=\dfrac{\pi}{3},~\angle\mbox{BOC}=\dfrac{\pi}{4}であるとする.また,3点O, A, Bを含む平面を\alphaとし,点Cから平面\alphaに下ろした垂線と\alphaとの交点をH,平面\alphaに関してCと対称な点をDとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおくとき,
(1) \overrightarrow{\mbox{OH}},~\overrightarrow{\mbox{OD}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 四面体OABCの体積を求めよ.
(3) \bigtriangleupABCの重心をGとし,面OAB上の点Pで\mbox{CP}+\mbox{PG}を最小にする点を\mbox{P}_0とする.このとき,\overrightarrow{\mbox{OP}_0}\vec{a},~\vec{b}を用いて表し,\mbox{CP}_0+\mbox{P}_0\mbox{G}の値を求めよ.

解答

発展問題を2つ。

5.(早稲田大)
座標空間において,点A(1,0,2), B(0,1,1)とする.点Pがx軸上を動くとき,AP+PBの最小値は(  )である.

6.(早稲田大)
座標空間内に4点A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,2), D(2,3,0)がある.点Pが線分AB上を動くとき,線分CPと線分PDの長さの和CP+PDが最小となるような点Pの座標を求めよ.

解答

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