平面の方程式

2018年1月14日

次は座標を用いた平面の方程式です。現課程では課程外ですが、これを利用した方が簡単に処理できることもあり、これをにおわせる問題が多数出題されています。知っておいた方がよいと思います。法線ベクトルを利用した直線のベクトル方程式を拡張しただけです。

１．
Ⅰ．次の点Aを通り， $\vec{n}$ に垂直な平面の方程式を求めよ．
(1) A $(3,1,5)$ , $\vec{n}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1 \end{array} \right)$
(2) A $(2,1,4)$ , $\vec{n}=\left( \begin{array}{r} 3\\ 2\\ 0 \end{array} \right)$
(3) A $(2,1,4)$ , $x$ 軸に垂直
Ⅱ．(1) 点A $(1,1,0)$ を通り，直線 $\dfrac{x-6}{3}=y-2=\dfrac{1-z}{2}$ に垂直な平面の方程式を求めよ．
(2) 点 $(2,-1,3)$ を通り，平面 $3x+2y-4z=12$ に平行である平面の方程式を求めよ．

２．
次の3点を通る平面の方程式を求めよ．
(1) A $(0,1,2)$ , B $(1,0,2)$ , C $(2,1,0)$
(2) A $(3,0,0)$ , B $(0,3,0)$ , C $(0,0,6)$

３．
(1) 点P $(x_0,y_0,z_0)$ と平面 $ax+by+cz+d=0$ の距離 $l$ は次の式で与えられることをベクトルを用いて示せ．
$l=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
(2) 点P $(0,1,-1)$ と平面 $3x+4y-z+21=0$ の距離を求めよ．

４．(滋賀大)
空間に3点A $(1,0,0)$ , B $(0,2,0)$ , C $(0,0,3)$ がある．このとき，3点A, B, Cを通る平面を $\alpha$ とする．
(1) 点P $(1,2,3)$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の長さを求めよ．
(2) 三角形ABCの面積と四面体ABCPの体積を求めよ．

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