球面のベクトル方程式

2018年1月14日2018年1月25日

球面のベクトル方程式の問題です。成り立ちを考えれば明らかですが、2次元の円のベクトル方程式と同じ形になります。

１．
(1) 点A $(\vec{a})$ に対し $|2\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{a}|$ を満たす点P $(\vec{p})$ はある球をえがく．この球の中心と半径を求めよ．
(2) 2点A $(\vec{a})$ , B $(\vec{b})$ を直径の両端とする球のベクトル方程式は球上の任意の点をP $(\vec{p})$ とするとき
$\left|\vec{p}-\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|=\dfrac{|\vec{a}-\vec{b}|}{2}$
と表されることを示せ．また，この方程式は $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$ と変形できることを示せ．

２．(岡山大)
座標空間内に3点A $(1,0,0)$ , B $(0,1,0)$ , C $(0,0,1)$ をとり，2つのベクトル $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ と $\overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{CP}}$ の内積が0となるような点P $(x,y,z)$ の集合を $S$ とする．3点A, B, Cを通る平面を $\alpha$ とするとき，
(1) 集合 $S$ は球面であることを示し，その中心Qの座標と半径 $r$ の値を求めよ．
(2) 原点Oから最も遠い距離にある $S$ 上の点の座標を求めよ．
(3) (1)で求めた点Qは，平面 $\alpha$ 上にあることを示せ．
(4) (1)で求めた点Qを通って平面 $\alpha$ に垂直な直線を $l$ とする．球面 $S$ と直線 $l$ のすべての共有点について，その座標を求めよ．

３．(一橋大)
$t$ を正の定数とする．原点をOとする空間内に，2点A $(2t,2t,0)$ , B $(0,0,t)$ がある．また動点Pは $\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AP}}+\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}=3$ を満たすように動く．OPの最大値が3となるような $t$ の値を求めよ．