球面のベクトル方程式

2018年1月25日

球面のベクトル方程式の問題です。成り立ちを考えれば明らかですが、2次元の円のベクトル方程式と同じ形になります。

1.
(1) 点A(\vec{a})に対し|2\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{a}|を満たす点P(\vec{p})はある球をえがく.この球の中心と半径を求めよ.
(2) 2点A(\vec{a}), B(\vec{b})を直径の両端とする球のベクトル方程式は球上の任意の点をP(\vec{p})とするとき
\left|\vec{p}-\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|=\dfrac{|\vec{a}-\vec{b}|}{2}
と表されることを示せ.また,この方程式は(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0と変形できることを示せ.

2.(岡山大)
座標空間内に3点A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)をとり,2つのベクトル\overrightarrow{\mbox{AP}}\overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{CP}}の内積が0となるような点P(x,y,z)の集合をSとする.3点A, B, Cを通る平面を\alphaとするとき,
(1) 集合Sは球面であることを示し,その中心Qの座標と半径rの値を求めよ.
(2) 原点Oから最も遠い距離にあるS上の点の座標を求めよ.
(3) (1)で求めた点Qは,平面\alpha上にあることを示せ.
(4) (1)で求めた点Qを通って平面\alphaに垂直な直線をlとする.球面Sと直線lのすべての共有点について,その座標を求めよ.

3.(一橋大)
tを正の定数とする.原点をOとする空間内に,2点A(2t,2t,0), B(0,0,t)がある.また動点Pは\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AP}}+\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}=3を満たすように動く.OPの最大値が3となるようなtの値を求めよ.

解答

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