約数と倍数

2018年2月20日

約数と倍数の問題です。まずは約数と倍数の定義を確認する問題から。素因数分解の一意性もテーマに含まれています。

1.B (東京工業大)
自然数a,~b,~c3a=b^3,~5a=c^2を満たし,d^6aを割り切るような自然数dd=1に限るとする.
(1) aは3と5で割り切れることを示せ.
(2) aの素因数は3と5以外にないことを示せ.
(3) aを求めよ.

解答

次の2つも約数と倍数の定義を確認する問題です。

2.C (東京工業大)
pを素数,nを0以上の整数とする.
(1) mは整数で0 \leqq m \leqq nとする.1からp^{n+1}までの整数の中で,p^mで割り切れp^{m+1}で割り切れないものの個数を求めよ.
(2) 1からp^{n+1}までの2つの整数x,~yに対し,その積xyp^{n+1}で割り切れるような組(x,y)の個数を求めよ.

解答

3.C (群馬大)
p,~qは素数でp<qとする.また,m,~nは正の整数とし,m \geqq 3とする.1からp^mq^nまでの整数のうち,pまたはqの倍数の個数が240個であるとする.これらの条件を満たす組(p,q,m,n)をすべて求めよ.

解答

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