球と直線・平面

2018年8月20日

球と直線、平面の問題です。まずは球と直線の問題です。

1.(名城大)
空間の点A(6,3,-4)の原点Oに関する位置ベクトルを\vec{a}とし,\vec{v}=\left( \begin{array}{r} -1\\ 1\\ 4 \end{array} \right)とおく.点Aを通り\vec{v}を方向ベクトルとする直線のベクトル方程式を\vec{p}=\vec{a}+t\vec{v}とする.さらに,この直線と点C(2,4,6)を中心とする半径3の球面との交点をP, Qとする.ただし,x座標の小さい方をPとする.
(1) 2点P, Qの座標を求めよ.
(2) ベクトル\overrightarrow{\mbox{CP}}, \overrightarrow{\mbox{CQ}}のなす角を求めよ.

次は球と平面の問題です。

2.(東北学院大)
空間内に点A(3,7,5)\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 2\\ 2 \end{array} \right)がある.点Aを通り\vec{a}に垂直な平面\alpha上に点P(x,y,z)をとるとき,
(1) x,~y,~zの間に成り立つ関係式を求めよ.
(2) 原点Oから平面\alphaに垂線OHを下ろすとき,点Hの座標を求めよ.
(3) 平面\alphaと球面x^2+y^2+z^2=225が交わってできる円の半径を求めよ.

3.(立命館大)
座標空間に球面S:x^2+y^2+z^2+4x-6y-8z+16=0と点A(1,0,-2)がある.点Aを通り,

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\v{n}=(1,2,-2)

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Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: $\v{n}

に垂直な平面を\alphaとする.平面\alpha上に点B(5,t,2)があるとき,
(1) 球面Sの中心Cの座標と半径を求めよ.
(2) 実数tの値を求めよ.
(3) 球面Sが平面\alphaと交わってできる円Kの半径を求めよ.
(4) 円Kの周上を点Pが動くとき,\bigtriangleupABPの面積の最大値を求めよ.なお,2点A, Bは円Kの外部にある.

4.(滋賀県立大)
空間において3点A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,0,4)がある.A, B, Cを通る平面を\alphaとする.
(1) \bigtriangleupABCの外心Pの座標と外接円の半径を求めよ.
(2) \alphaとPで接する半径が5である球面の中心の座標を求めよ.

解答

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