球と四面体

2018年1月23日2018年1月25日

球と四面体の問題です。

１．(九州大)
空間内に3点A $(1,0,0)$ , B $(0,2,0)$ , C $(0,0,3)$ をとる．
(1) 空間内の点Pが $\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot(\overrightarrow{\mbox{BP}}+2\overrightarrow{\mbox{CP}})=0$ を満たしながら動くとき，この点Pはある定点Qから一定の距離にあることを示せ．
(2) (1)における定点Qは3点A, B, Cを通る平面上にあることを示せ．
(3) (1)におけるPについて，四面体ABCPの体積の最大値を求めよ．

２．(同志社大)
座標空間内の球面 $x^2+y^2+z^2=9$ 上に3点A $(3,0,0)$ , B $(2,1,2)$ , C $(1,-2,2)$ をとる．
(1) $\bigtriangleup$ ABCの面積を求めよ．
(2) 3点A, B, Cを通る平面に，原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を求めよ．
(3) 球面上を動く点Pを頂点とする四面体PABCを考え，その体積を $V$ とする． $V$ の最大値と，そのときの点Pの座標を求めよ．

→解答

３．(大阪大)
空間内の4点A, B, C, Dが， $\mbox{AB}=1,~\mbox{AC}=2,~\mbox{AD}=3,~\angle\mbox{BAC}=\angle\mbox{CAD}=60^{\circ},~\angle\mbox{DAB}=90^{\circ}$ をみたしている．この4点から等距離にある点をEとする．線分AEの長さを求めよ．

→解答

４．(関西大)
Oを原点とする座標空間内に3点A $(4,0,0)$ , B $(4,4,0)$ , C $(2,2,2\sqrt{2})$ がある．
(1) 内積 $\overrightarrow{\mbox{AO}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AB}}$ の値は(　　)であり，内積 $\overrightarrow{\mbox{CO}} \cdot \overrightarrow{\mbox{CB}}$ の値は(　　)である．
(2) OBの中点をHとすると，Hの座標は(　　)であり， $|\overrightarrow{\mbox{HA}}|=2\sqrt{2},~|\overrightarrow{\mbox{HB}}|=(~~~~~),~|\overrightarrow{\mbox{HC}}|=(~~~~~)$ である．したがって，4点O, A, B, Cを通る球面の中心の座標は(　　)であり，その半径は(　　)である．
(3) 点D $(8,6,-2\sqrt{5})$ から(2)の球面への最短距離は(　　)で，最短距離を与える球面上の点の座標は(　　)である．