球と四面体

2018年1月25日

球と四面体の問題です。

1.(九州大)
空間内に3点A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)をとる.
(1) 空間内の点Pが\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot(\overrightarrow{\mbox{BP}}+2\overrightarrow{\mbox{CP}})=0を満たしながら動くとき,この点Pはある定点Qから一定の距離にあることを示せ.
(2) (1)における定点Qは3点A, B, Cを通る平面上にあることを示せ.
(3) (1)におけるPについて,四面体ABCPの体積の最大値を求めよ.

2.(同志社大)
座標空間内の球面x^2+y^2+z^2=9上に3点A(3,0,0), B(2,1,2), C(1,-2,2)をとる.
(1) \bigtriangleupABCの面積を求めよ.
(2) 3点A, B, Cを通る平面に,原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を求めよ.
(3) 球面上を動く点Pを頂点とする四面体PABCを考え,その体積をVとする.Vの最大値と,そのときの点Pの座標を求めよ.

解答

3.(大阪大)
空間内の4点A, B, C, Dが,\mbox{AB}=1,~\mbox{AC}=2,~\mbox{AD}=3,~\angle\mbox{BAC}=\angle\mbox{CAD}=60^{\circ},~\angle\mbox{DAB}=90^{\circ}をみたしている.この4点から等距離にある点をEとする.線分AEの長さを求めよ.

解答

4.(関西大)
Oを原点とする座標空間内に3点A(4,0,0), B(4,4,0), C(2,2,2\sqrt{2})がある.
(1) 内積\overrightarrow{\mbox{AO}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AB}}の値は(  )であり,内積\overrightarrow{\mbox{CO}} \cdot \overrightarrow{\mbox{CB}}の値は(  )である.
(2) OBの中点をHとすると,Hの座標は(  )であり,|\overrightarrow{\mbox{HA}}|=2\sqrt{2},~|\overrightarrow{\mbox{HB}}|=(~~~~~),~|\overrightarrow{\mbox{HC}}|=(~~~~~)である.したがって,4点O, A, B, Cを通る球面の中心の座標は(  )であり,その半径は(  )である.
(3) 点D(8,6,-2\sqrt{5})から(2)の球面への最短距離は(  )で,最短距離を与える球面上の点の座標は(  )である.

解答

5.(京都大)
空間内に四面体ABCDを考える.このとき,4つの頂点A, B, C, Dを同時に通る球面が存在することを示せ.

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