円すい面

2018年1月25日

円すい面の方程式の問題です。覚える必要はありませんが導出方法は理解しておいた方がよいでしょう。

1.(上智大)
座標空間の原点Oを通りベクトル(1,\sqrt{3},2\sqrt{3})に平行な直線をlとし,点Aの座標を(\sqrt{3}+3,3\sqrt{3}+3,6-2\sqrt{3})とする.このとき,Oを頂点とする円錐Cは,底面の中心Hがl上にあり,底面の円周がAを通るとする.
(1) \angle\mbox{AOB}=(~~~~~)\piである.ただし,0 \leqq \angle\mbox{AOH}<\piとする.
(2) Hの座標は(  )である.
(3) 点(\sqrt{3},y,z)Cの底面上(境界を含む)にあるとき,常に
y+(~~~~~)z+(~~~~~)=0
が成り立つ.
(4) 点(\sqrt{3},y,z)Cの側面上(境界を含む)にあるとき,常に(~~~~~)y^2+(~~~~~)yz+(~~~~~)z^2+(~~~~~)y+(~~~~~)z+21=0
が成り立つ.また,このときのzの最大値は(  )である.

解答

2.(千葉大)
xyz座標空間内に,底面の半径が1,高さが\sqrt{3}の直円錐を,頂点が原点O,底面の中心が(0,0,\sqrt{3})であるようにとる.この直円錐の側面をSとするとき,
(1) Sを表す方程式を求めよ.
(2) 点P(1,1,1)からSまでの最短距離を求めよ.

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