空間内の円１

2018年1月23日2018年1月25日

空間内の円のベクトル方程式の問題です。

１．(近畿大)
空間の点P $(x,y,z)$ は，変数 $u,~v$ に対して $x=u-2v,~y=1+2u-v,~z=1+2u+2v$ によってきまるものとする．このとき，
(1) 点P $(x,y,z)$ はある平面をなす．この平面の方程式を求めよ．
(2) $\theta$ が $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲を動くとき， $u=\cos\theta,~v=\sin\theta$ とおけば，点P $(x,y,z)$ はいかなる図形をえがくか．

２．(九州大)
Oを原点とする座標空間において，3点A $(a,0,0)$ , B $(0,a,0)$ , C $(0,0,1)$ が定める平面を $\alpha$ とする．ただし， $a$ は正の定数とする．
(1) 平面 $\alpha$ 上の任意の点Pに対し， $\overrightarrow{\mbox{CP}}=s\overrightarrow{\mbox{CA}}+t\overrightarrow{\mbox{CB}}$ を満たす $s,~t$ が存在する．点Pの座標を $a,~s,~t$ を用いて表せ．
(2) 原点Oから平面 $\alpha$ に垂線OHを下ろす．点Hの座標を $a$ を用いて表せ．
(3) $a=1$ とする．平面 $\alpha$ 上で点Aを中心とする半径1の円を考え，その円周上に点Qを $\angle\mbox{QAB}=\theta$ となるようにとる．ただし， $0<\theta<\pi$ とし，点Qの $z$ 座標は正とする．点Qの座標を $\theta$ を用いて表せ．

→解答

３．(三重大)
空間のベクトル $\overrightarrow{\mbox{OM}}=\left( \begin{array}{r} \sqrt{3}\\ \sqrt{3}\\ 0 \end{array} \right),~\overrightarrow{\mbox{ON}}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -1\\ 2 \end{array} \right)$ に対して，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OP}}=\overrightarrow{\mbox{OM}}\cos\theta+\overrightarrow{\mbox{ON}}\sin\theta~(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$ の点Pはどんな図形を描くか．

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