空間内の円1

2018年1月25日

空間内の円のベクトル方程式の問題です。

1.(近畿大)
空間の点P(x,y,z)は,変数u,~vに対してx=u-2v,~y=1+2u-v,~z=1+2u+2vによってきまるものとする.このとき,
(1) 点P(x,y,z)はある平面をなす.この平面の方程式を求めよ.
(2) \theta0 \leqq \theta < 2\piの範囲を動くとき,u=\cos\theta,~v=\sin\thetaとおけば,点P(x,y,z)はいかなる図形をえがくか.

2.(九州大)
Oを原点とする座標空間において,3点A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,1)が定める平面を\alphaとする.ただし,aは正の定数とする.
(1) 平面\alpha上の任意の点Pに対し,\overrightarrow{\mbox{CP}}=s\overrightarrow{\mbox{CA}}+t\overrightarrow{\mbox{CB}}を満たすs,~tが存在する.点Pの座標をa,~s,~tを用いて表せ.
(2) 原点Oから平面\alphaに垂線OHを下ろす.点Hの座標をaを用いて表せ.
(3) a=1とする.平面\alpha上で点Aを中心とする半径1の円を考え,その円周上に点Qを\angle\mbox{QAB}=\thetaとなるようにとる.ただし,0<\theta<\piとし,点Qのz座標は正とする.点Qの座標を\thetaを用いて表せ.

解答

3.(三重大)
空間のベクトル\overrightarrow{\mbox{OM}}=\left( \begin{array}{r} \sqrt{3}\\ \sqrt{3}\\ 0 \end{array} \right),~\overrightarrow{\mbox{ON}}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -1\\ 2 \end{array} \right)に対して,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OP}}=\overrightarrow{\mbox{OM}}\cos\theta+\overrightarrow{\mbox{ON}}\sin\theta~(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)の点Pはどんな図形を描くか.

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