空間内の軌跡と領域1

2018年1月25日

空間内の軌跡と領域の問題です。まずは軌跡と領域には関係ありませんが準備の問題です。

1.(京都大)
xyz空間でO(0,0,0), A(3,0,0), B(3,2,0), C(0,2,0), D(0,0,4), E(3,0,4), F(3,2,4), G(0,2,4)を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える.辺AEをs:(1-s)に内分する点をP,辺CGをt:(1-t)に内分する点をQとおく.ただし,0<s<1,~0<t<1とする.Dを通り,O, P, Qを含む平面に垂直な直線が線分AC (両端を含む)と交わるようなs,~tの満たす条件を求めよ.

解答

2.(福井大)
四面体OABCにおいて,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とし,|\vec{a}|=1,~|\vec{b}|=2,~|\vec{c}|=\sqrt{5},~\vec{a} \cdot \vec{b}=1,~\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c}=0とする.辺OAの中点をDとし,点P, Qをそれぞれ\overrightarrow{\mbox{CP}}=s\overrightarrow{\mbox{CD}}~(0 \leqq s \leqq 1),~\overrightarrow{\mbox{BQ}}=t\overrightarrow{\mbox{BA}}~(0 \leqq t \leqq 1)となるようにとり,線分PQの中点をRとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OR}}s,~t,~\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) s,~tがそれぞれ0 \leqq s \leqq 1,~0 \leqq t \leqq 1の範囲を動くとき,点Rの存在範囲の面積を求めよ.
(3) 直線ORと面ABCの交点をSとする.\bigtriangleup\mbox{SAB},~\bigtriangleup\mbox{SBC},~\bigtriangleup\mbox{SCA}の面積比が8:7:6となるとき,stの値を求めよ.

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