空間内の軌跡と領域１

2018年1月24日2018年1月25日

空間内の軌跡と領域の問題です。まずは軌跡と領域には関係ありませんが準備の問題です。

１．(京都大)
$xyz$ 空間でO $(0,0,0)$ , A $(3,0,0)$ , B $(3,2,0)$ , C $(0,2,0)$ , D $(0,0,4)$ , E $(3,0,4)$ , F $(3,2,4)$ , G $(0,2,4)$ を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える．辺AEを $s:(1-s)$ に内分する点をP，辺CGを $t:(1-t)$ に内分する点をQとおく．ただし， $0<s<1,~0<t<1$ とする．Dを通り，O, P, Qを含む平面に垂直な直線が線分AC (両端を含む)と交わるような $s,~t$ の満たす条件を求めよ．

→解答

２．(福井大)
四面体OABCにおいて， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とし， $|\vec{a}|=1,~|\vec{b}|=2,~|\vec{c}|=\sqrt{5},~\vec{a} \cdot \vec{b}=1,~\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c}=0$ とする．辺OAの中点をDとし，点P, Qをそれぞれ $\overrightarrow{\mbox{CP}}=s\overrightarrow{\mbox{CD}}~(0 \leqq s \leqq 1),~\overrightarrow{\mbox{BQ}}=t\overrightarrow{\mbox{BA}}~(0 \leqq t \leqq 1)$ となるようにとり，線分PQの中点をRとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OR}}$ を $s,~t,~\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(2) $s,~t$ がそれぞれ $0 \leqq s \leqq 1,~0 \leqq t \leqq 1$ の範囲を動くとき，点Rの存在範囲の面積を求めよ．
(3) 直線ORと面ABCの交点をSとする． $\bigtriangleup\mbox{SAB},~\bigtriangleup\mbox{SBC},~\bigtriangleup\mbox{SCA}$ の面積比が $8:7:6$ となるとき， $s$ と $t$ の値を求めよ．

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