空間内の軌跡と領域４

2018年1月25日

最後に立体図形の影の問題です。

１．(慶応大)
座標空間内の原点O， $z$ 座標が正である点 $\mbox{P}_k~(k=1,~2,~\cdots,~7)$ を頂点とする立方体 $\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ – $\mbox{P}_4\mbox{P}_5\mbox{P}_6\mbox{P}_7$ を考える．点 $\mbox{P}_1$ の座標は $(2,5,4)$ であり，点 $\mbox{P}_3$ の座標は( ア )，点 $\mbox{P}_4$ の座標は( イ )，点 $\mbox{P}_6$ の座標は( ウ )である．点 $\mbox{P}_k~(k=1,~2,~\cdots,~7)$ から $xy$ 平面に下ろした垂線を $\mbox{P}_k\mbox{Q}_k$ とするとき，四角形 $\mbox{OQ}_1\mbox{Q}_2\mbox{Q}_3$ の面積は( エ )，六角形 $\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2\mbox{Q}_3\mbox{Q}_7\mbox{Q}_4\mbox{Q}_5$ の面積は( オ )である．また，立方体と $z$ 軸の交わりは線分となり，その線分の長さは( カ )となる．

２．(早稲田大)
空間内に平面 $P$ がある．空間内の図形 $A$ に対し， $A$ の各点から $P$ に下ろした垂線と $P$ との交点の全体を， $A$ の $P$ への正射影とよぶ．
(1) 平面 $Q$ が平面 $P$ と角 $\theta~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ で交わっているとする．すなわち， $P$ と $Q$ の交線に垂直な平面で $P, Q$ を切ってできる2直線のなす角が $\theta$ であるとする． $Q$ 上の長さ1の線分の $P$ への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2) (1)の $Q$ を考える． $Q$ 上の1辺の長さが1である正三角形の $p$ への正射影の面積を求めよ．
(3) 1辺の長さが1である正四面体 $T$ の $P$ への正射影 $T'$ はどんな形か．また， $T'$ の面積の最大値を求めよ．