空間内の軌跡と領域4

最後に立体図形の影の問題です。

1.(慶応大)
座標空間内の原点O,z座標が正である点\mbox{P}_k~(k=1,~2,~\cdots,~7)を頂点とする立方体\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3\mbox{P}_4\mbox{P}_5\mbox{P}_6\mbox{P}_7を考える.点\mbox{P}_1の座標は(2,5,4)であり,点\mbox{P}_3の座標は( ア ),点\mbox{P}_4の座標は( イ ),点\mbox{P}_6の座標は( ウ )である.点\mbox{P}_k~(k=1,~2,~\cdots,~7)からxy平面に下ろした垂線を\mbox{P}_k\mbox{Q}_kとするとき,四角形\mbox{OQ}_1\mbox{Q}_2\mbox{Q}_3の面積は( エ ),六角形\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2\mbox{Q}_3\mbox{Q}_7\mbox{Q}_4\mbox{Q}_5の面積は( オ )である.また,立方体とz軸の交わりは線分となり,その線分の長さは( カ )となる.

2.(早稲田大)
空間内に平面Pがある.空間内の図形Aに対し,Aの各点からPに下ろした垂線とPとの交点の全体を,APへの正射影とよぶ.
(1) 平面Qが平面Pと角\theta~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)で交わっているとする.すなわち,PQの交線に垂直な平面でP, Qを切ってできる2直線のなす角が\thetaであるとする.Q上の長さ1の線分のPへの正射影の長さの最大値と最小値を求めよ.
(2) (1)のQを考える.Q上の1辺の長さが1である正三角形のpへの正射影の面積を求めよ.
(3) 1辺の長さが1である正四面体TPへの正射影T'はどんな形か.また,T'の面積の最大値を求めよ.

解答

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