空間内の軌跡と領域5

次は円錐曲線の問題です。円錐面を平面で切ったとき切り口の曲線は放物線、楕円 (円)、双曲線、2直線のいずれかになります。理系は必須ですが文系でも放物線は学習しているので出題されることがあります。

1.(秋田大)
xyz空間に点C(0,2,2)を中心とする球面x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=1と点A(0,0,3)がある.球面上の点Pと点Aとを通る直線がxy平面と交わるとき,その交点をQ(a,b,0)とする.
(1) 点Cを通る直線が直線AQと垂直に交わるとき,その交点をHとする.\overrightarrow{\mbox{AH}}=k\overrightarrow{\mbox{AQ}}を満たすka,~bで表せ.
(2) (1)で定めたHについて,線分CHの長さをa,~bで表せ.
(3) 点Pが球面上を動くとき,点Qの存在範囲を式で表し,xy平面上に図示せよ.

解答

2.(京都大)
xyz空間の中で,(0,0,1)を中心とする半径1の球面Sを考える.点Qが(0,0,2)以外のS上の点を動くとき,点Qと点P(1,0,2)の2点を通る直線lと平面z=0の交点をRとおく.Rの動く範囲を求め,図示せよ.

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