空間内の軌跡と領域５

2018年1月25日

次は円錐曲線の問題です。円錐面を平面で切ったとき切り口の曲線は放物線、楕円 (円)、双曲線、2直線のいずれかになります。理系は必須ですが文系でも放物線は学習しているので出題されることがあります。

１．(秋田大)
$xyz$ 空間に点C $(0,2,2)$ を中心とする球面 $x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=1$ と点A $(0,0,3)$ がある．球面上の点Pと点Aとを通る直線が $xy$ 平面と交わるとき，その交点をQ $(a,b,0)$ とする．
(1) 点Cを通る直線が直線AQと垂直に交わるとき，その交点をHとする． $\overrightarrow{\mbox{AH}}=k\overrightarrow{\mbox{AQ}}$ を満たす $k$ を $a,~b$ で表せ．
(2) (1)で定めたHについて，線分CHの長さを $a,~b$ で表せ．
(3) 点Pが球面上を動くとき，点Qの存在範囲を式で表し， $xy$ 平面上に図示せよ．