空間内の軌跡と領域6

次もよくある状況です。

1.(金沢大)
xyz座標空間において,原点Oを中心とする半径1の球面S:x^2+y^2+z^2=1,およびS上の点A(0,0,1)を考える.S上のAと異なる点P(x_0,y_0,z_0)に対して,2点A,~Pを通る直線とxy平面との交点をQとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{AQ}}=t\overrightarrow{\mbox{AP}} (tは実数)とおくとき,\overrightarrow{\mbox{OQ}}t,~\overrightarrow{\mbox{OP}},~\overrightarrow{\mbox{OA}}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{OQ}}の成分表示をx_0,~y_0,~z_0を用いて表せ.
(3) 球面Sと平面y=\dfrac{1}{2}の共通部分が表す図形をCとする.点PがC上を動くとき,xy平面上における点Qの軌跡を求めよ.

解答

2.(愛知教育大)
座標空間内において,原点を中心とする半径1の球面をSとし,その上に点N(0,0,1)をとる.球面S上のNと異なる点P(p,q,r)に対して,直線NPとxy平面との交点をQ(u,v,0)とする.
(1) u,~vp,~q,~rで表せ.
(2) yz平面をx軸方向に\dfrac{1}{2}だけ平行移動して得られる平面をTとする.点Pが球面Sと平面Tとの交線の上を動くとき,対応する点Qがxy平面上に描く軌跡の方程式を求め,それがどのような図形であるか述べよ.

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