空間内の軌跡と領域６

2018年1月25日

次もよくある状況です。

１．(金沢大)
$xyz$ 座標空間において，原点Oを中心とする半径1の球面 $S:x^2+y^2+z^2=1$ ，および $S$ 上の点A $(0,0,1)$ を考える． $S$ 上のAと異なる点P $(x_0,y_0,z_0)$ に対して，2点A,~Pを通る直線と $xy$ 平面との交点をQとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{AQ}}=t\overrightarrow{\mbox{AP}}$ ( $t$ は実数)とおくとき， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ を $t,~\overrightarrow{\mbox{OP}},~\overrightarrow{\mbox{OA}}$ を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ の成分表示を $x_0,~y_0,~z_0$ を用いて表せ．
(3) 球面 $S$ と平面 $y=\dfrac{1}{2}$ の共通部分が表す図形を $C$ とする．点Pが $C$ 上を動くとき， $xy$ 平面上における点Qの軌跡を求めよ．

→解答

２．(愛知教育大)
座標空間内において，原点を中心とする半径1の球面を $S$ とし，その上に点N $(0,0,1)$ をとる．球面 $S$ 上のNと異なる点P $(p,q,r)$ に対して，直線NPと $xy$ 平面との交点をQ $(u,v,0)$ とする．
(1) $u,~v$ を $p,~q,~r$ で表せ．
(2) $yz$ 平面を $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ だけ平行移動して得られる平面を $T$ とする．点Pが球面 $S$ と平面 $T$ との交線の上を動くとき，対応する点Qが $xy$ 平面上に描く軌跡の方程式を求め，それがどのような図形であるか述べよ．