極値の和

2016年9月7日2017年5月19日

極値の和の問題です。そのまま値を代入して解と係数の関係を用いて計算することもできますが、3次関数では3次関数の点対称性を利用した方が楽に計算できます。計算は計算回数が増えるほど間違える可能性も高くなりますので手際よくやりたいものです。

１．(埼玉大)
3次関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ は $x=\alpha$ で極大値， $x=\beta$ で極小値をとるとする．ただし， $a,~b,~c$ は定数とする．このとき，
(1) $f(\alpha)+f(\beta)$ を $a,~b,~c$ で表せ．
(2) $\dfrac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}=f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$ であることを示せ．
(3) 3次関数 $g(x)=x^3+3x^2+x+d$ について，極大値と極小値の和が8になるとき，定数 $d$ の値を求めよ．

次は中点の軌跡への応用です。

２．(南山大)
関数 $f(x)=2x^3+3px^2+3px-\dfrac{3}{2} p^2$ は， $x=\alpha$ で極大値 $f(\alpha)$ を， $x=\beta$ で極小値 $f(\beta)$ をとる．ただし， $p$ は実数とする．
(1) $p$ のとりうる値の範囲を求めよ．
(2) $f(\alpha)+f(\beta)$ を $p$ を用いて表せ．
(3) 2点 $(\alpha,f(\alpha)),~(\beta,f(\beta))$ を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ．また，そのグラフをかけ．

→解答

次に極値の和を応用する問題を2つ。

３．(関西大)
3次関数 $f(x)=x^3+ax^2-x$ について，
(1) この関数 $f(x)$ の極大値は正，極小値は負であることを示せ．
(2) 極大値が極小値の絶対値より小であるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ．

４．(横浜国立大)
$a,~b$ は実数とする．関数 $f(x)=x^3+3ax^2+3bx$ が極大値と極小値をもつ．
(1) 極大値が正で，極小値が負で，かつ極大値と極小値の和が負となる点 $(a,b)$ の範囲を図示せよ．
(2) 極大値が1で，極小値が $-1$ であるような点 $(a,b)$ をすべて求めよ．

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