リーグ戦

2018年2月18日

リーグ戦の問題です。

１．(近畿大)
A, B, C, D, Eの5チームがあり，それぞれのチームは他のチームと1回ずつ試合をする．2つのチームが対戦するときの勝敗の確率は $\dfrac{1}{2}$ とし，引き分けはないものとする．
(1) 試合は全部で(　　)試合行われる．
(2) 4敗のチームが現れる確率は(　　)である．
(3) 3勝1敗のチームがちょうど3チーム現れる確率は(　　)である．

２．(北里大)
A, B, C, D, E, Fの6チームがあり，それぞれのチームは他のチームと1試合ずつ試合を行う．各試合において，両チームの勝つ確率はどちらも $\dfrac{1}{2}$ で，引き分けはないものとする．
(1) 試合数は全部で何試合あるか．
(2) 5戦全勝のチームが現れる確率を求めよ．
(3) 6チームの勝ち数がすべて異なる確率を求めよ．
(4) A, B, Cの3チームがともに4勝1敗となる確率を求めよ．
(5) 4勝1敗のチームがちょうど3チーム現れる確率を求めよ．

３．(豊橋技術科学大)
$n$ を2以上の自然数とする．いま， $n$ チームが総当たり戦を行う．ただし，2つのチームが対戦するときの勝敗の確率は $\dfrac{1}{2}$ とする．
(1) $n$ チームのうち全勝の成績を残すチームが現れる確率 $P_1$ を求めよ．
(2) 全勝の成績を残すチームと全敗の成績を残すチームがともに現れる確率 $P_2$ を求めよ．
(3) 全勝あるいは全敗の成績を残すチームが現れない確率 $P_3$ を求めよ．

４．(京都大)
$n$ チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて $\dfrac{1}{2}$ で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．このとき， $(n-2)$ 勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ．ただし， $n$ は3以上とする．

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