倍数の見分け方

倍数の見分け方の問題です。倍数の見分け方にはいくつかタイプがあります。

(A) 下〇桁で見分けるタイプ

(1) 2の倍数:下1桁が2の倍数

証明:ある整数Nの下1桁をmとするとN=10n+m (nは整数)とおける。

10n+m=2 \times 5n+mであり2 \times 5nの項は2の倍数よりNが2の倍数であればmは2の倍数であるし、mが2の倍数であればNは2の倍数である。

合同式を使って10n+m \equiv m\mod 2としてもよいでしょう。

(2) 5の倍数:下1桁が5の倍数

証明:同様

(3) 4の倍数:下2桁が4の倍数

証明:ある整数Nの下2桁をmとするとN=100n+m (nは整数)とおける。

100n+m=4 \times 25n+mであり4 \times 25nの項は4の倍数よりNが4の倍数であればmは4の倍数であるし、mが4の倍数であればNは4の倍数である。

これも合同式を使ってもよいです。

(4) 8の倍数:下3桁が8の倍数

証明:ある整数Nの下3桁をmとするとN=1000n+m (nは整数)とおける。として同様にしてできる。

(B) 各位の数の和で見分けるタイプ

(1) 9の倍数:各位の数の和が9の倍数

1.
3桁の整数a_3a_2a_1が9の倍数であるための必要十分条件は,a_1+a_2+a_3が9の倍数であることを示せ.

(2) 3の倍数:各位の数の和が3の倍数

2.
3桁の整数a_3a_2a_1が3の倍数であるための必要十分条件は,a_1+a_2+a_3が3の倍数であることを示せ.

(C) その他

(1) 11の倍数

3.(京都教育大)
(1) nが負の整数でない整数であるとき,10^{2n+1}+1および10^{2n}-1が11の倍数であることを示せ.
(2) 自然数mの10進表示をa_la_{l-1} \cdots a_2a_1 (各a_iは0以上9以下の整数)とする.a_1-a_2+a_3-a_4\cdots+(-1)^{l+1}a_lが11の倍数であれば,mも11の倍数であることを示せ.

(2) 7の倍数

4.(成城大)
(1) 5桁の自然数Mがある.この5桁のうち十の位より上の4桁の数と一の位の数を2倍した数との差が7の倍数であるとき,この5桁の自然数Mが7の倍数であることを証明せよ.
(2) 6桁の自然数Nがある.この6桁を3桁ごとに2つの数に分け,前の数と後の数との差が7の倍数であるとき,この6桁の自然数Nが7の倍数であることを証明せよ.

(3) その他

5.(東京女子医大)
398398のように3桁の自然数を2回くりかえしてできる6桁の自然数は常に91で割り切れることを証明せよ.

ここにない6の倍数は6=2 \times 3より6の倍数であれば2の倍数かつ3の倍数であるから各位の数の和が3の倍数かつ下1桁が2の倍数などと考えればよい。

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ