共通接線2

2017年5月18日

2曲線が離れているの共通接線の問題です。まずは少なくとも一方に2次関数を含む場合から。

1.
2つの放物線y=x^2y=-(x-3)^2+4について,両方の放物線に接する直線の方程式を求めよ.

2.(熊本大)
aを定数とする.2つの放物線C_1:y=-x^2,~C_2:y=3(x-1)^2+aについて,次の問いに答えよ.
(1) C_1,~C_2の両方に接する直線が2本存在するためのaの条件を求めよ.
(2) C_1,~C_2の両方に接する2本の直線が,直交するときのaの値を求めよ.
(3) C_1,~C_2の両方に接する2本の直線が,\dfrac{\pi}{4}の角度で交わるときのaの値を求めよ.

次はともに2次関数ではない場合です。

3.(一橋大)
cを正の定数とし,f(x)=x^3+3x^2,~g(x)=x^3+3x^2+cとする.直線lは点P(p,f(p))で曲線y=f(x)と接し,点Q(q,g(q))で曲線y=g(x)と接する.
(1) cpで表せ.
(2) 直線lと曲線y=f(x)のP以外の交点をRとする.2つの線分の長さの比\mbox{PQ}:\mbox{QR}を求めよ.

解答

応用問題を2つ。

4.(早稲田大)
tを実数とする.2つの放物線
y=x^2+1\cdots①, y=-(x-t)^2+t\cdots
の両方に接する2本の直線をl_1,~l_2とし,l_1l_2の交点をP,l_1と①の接点をA(\alpha,~\alpha^2+1)l_2と①の接点をB(\beta,\beta^2+1)とする.
(1) Pの座標を\alpha,~\betaを用いて表せ.
(2) 三角形APBの面積をS(t)とするとき,S(t)tの式で表せ.
(3) S(t)の最小値を求めよ.

解答

5.(東京大)
a>0に対して次の2つの放物線を考える.
C_1:y=x^2+\dfrac{1}{a^2},~C_2:y=-(x-a)^2
(1) C_1,~C_2の両方に接するような直線がつねに2本存在することを示せ.
(2) (1)で定まる4つの接点がつくる四角形の面積S(a)の最小値を求めよ.

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