共通接線２

2016年9月7日2017年5月18日

2曲線が離れているの共通接線の問題です。まずは少なくとも一方に2次関数を含む場合から。

１．
2つの放物線 $y=x^2$ と $y=-(x-3)^2+4$ について，両方の放物線に接する直線の方程式を求めよ．

２．(熊本大)
$a$ を定数とする．2つの放物線 $C_1:y=-x^2,~C_2:y=3(x-1)^2+a$ について，次の問いに答えよ．
(1) $C_1,~C_2$ の両方に接する直線が2本存在するための $a$ の条件を求めよ．
(2) $C_1,~C_2$ の両方に接する2本の直線が，直交するときの $a$ の値を求めよ．
(3) $C_1,~C_2$ の両方に接する2本の直線が， $\dfrac{\pi}{4}$ の角度で交わるときの $a$ の値を求めよ．

次はともに2次関数ではない場合です。

３．(一橋大)
$c$ を正の定数とし， $f(x)=x^3+3x^2,~g(x)=x^3+3x^2+c$ とする．直線 $l$ は点P $(p,f(p))$ で曲線 $y=f(x)$ と接し，点Q $(q,g(q))$ で曲線 $y=g(x)$ と接する．
(1) $c$ を $p$ で表せ．
(2) 直線 $l$ と曲線 $y=f(x)$ のP以外の交点をRとする．2つの線分の長さの比 $\mbox{PQ}:\mbox{QR}$ を求めよ．

→解答

応用問題を2つ。

４．(早稲田大)
$t$ を実数とする．2つの放物線
$y=x^2+1\cdots$ ①, $y=-(x-t)^2+t\cdots$ ②
の両方に接する2本の直線を $l_1,~l_2$ とし， $l_1$ と $l_2$ の交点をP， $l_1$ と①の接点をA $(\alpha,~\alpha^2+1)$ ， $l_2$ と①の接点をB $(\beta,\beta^2+1)$ とする．
(1) Pの座標を $\alpha,~\beta$ を用いて表せ．
(2) 三角形APBの面積を $S(t)$ とするとき， $S(t)$ を $t$ の式で表せ．
(3) $S(t)$ の最小値を求めよ．

→解答

５．(東京大)
$a>0$ に対して次の2つの放物線を考える．
$C_1:y=x^2+\dfrac{1}{a^2},~C_2:y=-(x-a)^2$
(1) $C_1,~C_2$ の両方に接するような直線がつねに2本存在することを示せ．
(2) (1)で定まる4つの接点がつくる四角形の面積 $S(a)$ の最小値を求めよ．

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