3次関数の対称性

2016年9月7日2017年5月18日

微分とはあまり関係ありませんが、3次関数は変曲点という点に関して点対称です。まずは具体的な問題で確認してみましょう。

１．(関西学院大)
関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$ は $x=a$ で極大値 $f(a)$ をとり， $x=b$ で極小値 $f(b)$ をとるとする．また，2点P $(a,f(a))$ , Q $(b,f(b))$ を結ぶ線分の中点をMとする．
(1) $a,~f(a),~b,~f(b)$ の値を求めよ．
(2) 線分PQと曲線 $y=f(x)$ はP, Qのほかに，点Mを共有することを示せ．
(3) 点Mを通る直線と曲線 $y=f(x)$ がM以外に2つの共有点R, Sをもつとすると，Mは線分RSの中点であることを示せ．

次に一般的に証明してみて下さい。

２．(大分大)
$x$ の3次関数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ のグラフはある点に関して対称であることを証明せよ．ここに， $a,~b,~c,~d$ は定数で $a \ne 0$ とする．

３．(名古屋大)
3次関数 $y=x^3+ax^2+bx+c$ のグラフを $G$ とする．
(1) $xy$ 平面上の点 $(p,q)$ に関する，点 $(X,Y)$ に対称な点の座標を求めよ．
(2) $G$ はこの上のある点に関して点対称であることを示せ．
(3) $y$ 軸に平行な直線 $x=p$ に関する，点 $(X,Y)$ に対称な点の座標を求めよ．
(4) $G$ は $y$ 軸に平行などんな直線に関しても線対称でないことを示せ．

接線を利用しても点対称性を確認できます。

４．(一橋大)
$a$ を実数とする．傾きが $m$ である2つの直線が，曲線 $y=x^3-3ax^2$ とそれぞれの点A, 点Bで接している．
(1) 線分ABの中点をCとすると，Cは曲線 $y=x^3-3ax^2$ 上にあることを示せ．
(2) 線分ABの方程式が $y=-x-1$ であるとき， $a,~m$ の値を求めよ．

コメント一覧

tより:
2020年2月6日 02:37
3の名古屋大と書かれている問題は何年のものでしょうか？
2001年の九大文系ではないですかね？
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