3次関数の対称性

2017年5月18日

微分とはあまり関係ありませんが、3次関数は変曲点という点に関して点対称です。まずは具体的な問題で確認してみましょう。

1.(関西学院大)
関数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1x=aで極大値f(a)をとり,x=bで極小値f(b)をとるとする.また,2点P(a,f(a)), Q(b,f(b))を結ぶ線分の中点をMとする.
(1) a,~f(a),~b,~f(b)の値を求めよ.
(2) 線分PQと曲線y=f(x)はP, Qのほかに,点Mを共有することを示せ.
(3) 点Mを通る直線と曲線y=f(x)がM以外に2つの共有点R, Sをもつとすると,Mは線分RSの中点であることを示せ.

次に一般的に証明してみて下さい。

2.(大分大)
xの3次関数y=ax^3+bx^2+cx+dのグラフはある点に関して対称であることを証明せよ.ここに,a,~b,~c,~dは定数でa \ne 0とする.

3.(名古屋大)
3次関数y=x^3+ax^2+bx+cのグラフをGとする.
(1) xy平面上の点(p,q)に関する,点(X,Y)に対称な点の座標を求めよ.
(2) Gはこの上のある点に関して点対称であることを示せ.
(3) y軸に平行な直線x=pに関する,点(X,Y)に対称な点の座標を求めよ.
(4) Gy軸に平行などんな直線に関しても線対称でないことを示せ.

接線を利用しても点対称性を確認できます。

4.(一橋大)
aを実数とする.傾きがmである2つの直線が,曲線y=x^3-3ax^2とそれぞれの点A, 点Bで接している.
(1) 線分ABの中点をCとすると,Cは曲線y=x^3-3ax^2上にあることを示せ.
(2) 線分ABの方程式がy=-x-1であるとき,a,~mの値を求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ