複素数係数の方程式

次は係数を実数から複素数に拡張した場合の扱いについてです。

1.(九州大)
\alphaを複素数とする.等式\alpha(|z|^2+2)+i(2|\alpha|^2+1)\overline{z}=0を満たす複素数zをすべて求めよ.ただし,iは虚数単位である.

2.(京都大)
\alpha,~\betaは複素数で,\alphaの絶対値は1とする.このとき,z+\alpha\overline{z}+\beta=0を満足する複素数zがあるための必要十分条件は,\alpha\overline{\beta}=\betaであることを示せ.ここに,\overline{z},~\overline{\beta}はそれぞれz,~\betaの共役複素数を表す.

3.(東北大)
\alphaを複素数とする.複素数zの方程式z^2-\alpha z+2i=0\cdots①について,次の問いに答えよ.ただし,iは虚数単位である.
(1) 方程式①が実数解をもつように\alphaが動くとき,点\alphaが複素数平面上に描く図形を図示せよ.
(2) 方程式①が絶対値1の複素数を解にもつように\alphaが動くとする.原点を中心に\alpha\dfrac{\pi}{4}回転させた点を表す複素数を\betaとするとき,点\betaが複素数平面上に描く図形を図示せよ.

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