3次関数の等間隔性

2016年9月7日2017年5月23日

3次関数には点対称性と合わせて等間隔性という性質があります。この等間隔性は最大最小問題で威力を発揮します。まずは等間隔性を使うまでもありませんが、最大最小問題の導入問題から。

１．((1) 明治大　(2) 東海大　(3) 立命館大)
(1) 関数 $y=4x^3-3x^2-6x+2$ の $-1 \leqq x \leqq 2$ における最大値，および最小値を求めよ．
(2) 関数 $f(x)=-2x^3+3x^2+6x-1$ の $-2 \leqq x \leqq 2$ における最大値，最小値を求めよ．
(3) 関数 $f(x)=x^3-4x^2+3x+1$ の $-1 \leqq x \leqq 3$ における最大値，最小値を求めよ．

次は、一見簡単そうに見えますがかなり手ごわいです。

２．(東京大)
関数 $f(x)=x^3-2x^2-3x+4$ の，区間 $-\dfrac{7}{4} \leqq x \leqq 3$ での最大値と最小値を求めよ．

次に文字が入った問題を1つ。

３．(一橋大)
$a$ を実数とし， $f(x)=x^3-3ax$ とする．区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ における $|f(x)|$ の最大値を $M$ とする． $M$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ．

最後に等間隔性の論証問題です。

４．(京都大)
3次関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ ( $a,~b,~c$ は定数)のグラフ $y=f(x)$ と，定数 $m$ とを考える．
(1) このグラフの接線で，傾き $m$ のものは何本あるか．
(2) 傾き $m$ の接線が2本ある場合について，その接線 $l_1,~l_2$ の接点を $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2$ とし， $l_1,~l_2$ がグラフと交わる他の点を $\mbox{Q}_1,~\mbox{Q}_2$ とすれば， $\mbox{P}_1\mbox{Q}_1=\mbox{P}_2\mbox{Q}_2$ であることを示せ．

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