3次関数の等間隔性

2017年5月23日

3次関数には点対称性と合わせて等間隔性という性質があります。この等間隔性は最大最小問題で威力を発揮します。まずは等間隔性を使うまでもありませんが、最大最小問題の導入問題から。

1.((1) 明治大 (2) 東海大 (3) 立命館大)
(1) 関数y=4x^3-3x^2-6x+2-1 \leqq x \leqq 2における最大値,および最小値を求めよ.
(2) 関数f(x)=-2x^3+3x^2+6x-1-2 \leqq x \leqq 2における最大値,最小値を求めよ.
(3) 関数f(x)=x^3-4x^2+3x+1-1 \leqq x \leqq 3における最大値,最小値を求めよ.

次は、一見簡単そうに見えますがかなり手ごわいです。

2.(東京大)
関数f(x)=x^3-2x^2-3x+4の,区間-\dfrac{7}{4} \leqq x \leqq 3での最大値と最小値を求めよ.

次に文字が入った問題を1つ。

3.(一橋大)
aを実数とし,f(x)=x^3-3axとする.区間-1 \leqq x \leqq 1における|f(x)|の最大値をMとする.Mの最小値とそのときのaの値を求めよ.

最後に等間隔性の論証問題です。

4.(京都大)
3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+c (a,~b,~cは定数)のグラフy=f(x)と,定数mとを考える.
(1) このグラフの接線で,傾きmのものは何本あるか.
(2) 傾きmの接線が2本ある場合について,その接線l_1,~l_2の接点を\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2とし,l_1,~l_2がグラフと交わる他の点を\mbox{Q}_1,~\mbox{Q}_2とすれば,\mbox{P}_1\mbox{Q}_1=\mbox{P}_2\mbox{Q}_2であることを示せ.

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