3次方程式の解の範囲１

2016年9月7日2019年1月15日

3次関数の解の範囲の問題です。まずは3つの解のすべてがどういう範囲にあるかという問題から。チェビシェフ多項式にも関わる問題です。

１．(早稲田大)
(1) $\cos 3\theta$ を $\cos\theta$ のみの式で表せ．
(2) (ア) 3次関数 $f(x)=x^3-\dfrac{3}{4}x$ について増減表を書き， $y=f(x)$ のグラフの概形をかけ．
(イ) $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ が共有点を2つまたは3つもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ．また， $k$ がこの範囲を動くとき，共有点の $x$ 座標のとる値の範囲を求めよ．
(3) 3次方程式 $x^3-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{8}=0$ の解を $x=\cos\theta$ とおくとき， $\theta$ の値を求めよ．

２．(神戸大)
$f(x)=x^3-3x+1,~g(x)=x^2-2$ とし，方程式 $f(x)=0$ について考える．このとき，以下のことを示せ．
(1) $f(x)=0$ は絶対値が2より小さい3つの相異なる実数解をもつ．
(2) $\alpha$ が $f(x)=0$ の解ならば， $g(\alpha)$ も $f(x)=0$ の解となる．
(3) $f(x)=0$ の解を小さい順に $\alpha_1,~\alpha_2,~\alpha_3$ とすれば， $g(\alpha_1)=\alpha_3,~g(\alpha_2)=\alpha_1,~g(\alpha_3)=\alpha_2$ となる．

次は1つの1つの解がどういう範囲にあるかを求める問題です。

３．(近畿大)
方程式 $2x^3-3x^2-12x-p=0$ が異なる3つの実数解 $\alpha,~\beta,~\gamma$ をもつとき，次の問いに答えよ．
(1) 実数 $p$ の値の範囲を求めよ．
(2) $\alpha<\beta<\gamma$ であるとき， $\alpha,~\beta,~\gamma$ の値の範囲を不等式で表せ．

４．(学習院大)
実数 $a,~b,~c$ が $a<b<c,~a+b+c=0,~bc+ca+ab=-3$ を満たすとき，不等式 $-2<a<-1<b<1<c<2$ が成り立つことを示せ．

５．(名古屋大)
(1) 関数 $f(x)=2x^3-3x^2+1$ のグラフをかけ．
(2) 方程式 $f(x)=a$ ( $a$ は実数)が相異なる3つの実数解 $\alpha<\beta<\gamma$ をもつとする． $l=\gamma-\alpha$ を $\beta$ のみを用いて表せ．
(3) $a$ が(2)に条件のもとで変化するとき $l$ の動く範囲を求めよ．

次の問題は類題がたくさん出題されています。最近だけ見ても、一橋大、埼玉大、東京理科大、津田塾大…。この問題では(1)で極値を求めているのでグラフを利用するのではと発想が浮かぶかもしれませんが、(1)なしで出題された場合にグラフを利用する気になるでしょうか。

７．(横浜国立大)
3次関数 $f(x)=x^3-3x^2-4x+k$ について，次の問いに答えよ．ただし， $k$ は定数とする．
(1) $f(x)$ が極値をとるときの $x$ を求めよ．
(2) 方程式 $f(x)=0$ が異なる3つの整数解をもつとき， $k$ の値およびその整数解を求めよ．

最後にありそうであまりなかった問題を1つ。文字定数のついているところが少し違います。

８．(早稲田大)
$m$ は実数の定数とし， $x$ の3次方程式 $x^3-3mx+m-3=0$ が3個の異なる実数解 $\alpha,~\beta,~\gamma$ をもつとする．
(1) $m$ の範囲を求めよ．
(2) $\alpha<\beta<\gamma$ とする．このとき， $\alpha,~\beta,~\gamma$ の範囲をそれぞれ求めよ．

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