接線の利用

2017年7月17日

接線を利用して距離の最小値を求める問題です。まずは放物線と直線から。

1.(摂南大)
放物線y=x^2の接線で傾きが2であるものはy=2x-(~~~~~)で接点の座標は(  )である.また点Aが放物線y=x^2上を動き点Bが直線y=2x-3を動くとき,線分ABの長さの最小値は(  )である.

2.(関西大)
放物線y=x^2上に3点A(-1,1),B(2,4),P(p,p^2)をとる.ただし,-1<p<2とする.\bigtriangleupABPの面積の最大値およびそのときのpの値を求めよ.

次に放物線と放物線。

3.(東京工業大)
放物線y=x^2上の点Pと,放物線y=-x^2-16x-65上の点Qに対して,線分PQを考える.このとき線分PQの長さの最小値を求めよ.

4.(東京大)
cc>\dfrac{1}{4}を満たす実数とする.xy平面上の放物線y=x^2Aとし,直線y=x-cに関してAと対称な放物線をBとする.点Pが放物線A上を動き,点Qが放物線B上を動くとき,線分PQの長さの最小値をcを用いて表せ.

最後に円と放物線。

5.(東海大)
曲線y=x^2上の点と曲線(x-3)^2+y^2=1上の点の距離の最小値を求めよ.

6.(東京工業大)
aを正の定数とし,放物線y=\dfrac{x^2}{4}C_1とする.
(1) 点PがC_1上を動くとき,Pと点Q\left(2a,\dfrac{a^2}{4}-2\right)の距離の最小値を求めよ.
(2) Qを中心とする円(x-2a)^2+\left(y-\dfrac{a^2}{4}+2\right)^2=2a^2C_2とする.PがC_1上を動き,点RがC_2上を動くとき,PとRの距離の最小値を求めよ.

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