接線の利用

2016年9月7日2017年7月17日

接線を利用して距離の最小値を求める問題です。まずは放物線と直線から。

１．(摂南大)
放物線 $y=x^2$ の接線で傾きが2であるものは $y=2x-(~~~~~)$ で接点の座標は(　　)である．また点Aが放物線 $y=x^2$ 上を動き点Bが直線 $y=2x-3$ を動くとき，線分ABの長さの最小値は(　　)である．

２．(関西大)
放物線 $y=x^2$ 上に3点A $(-1,1)$ ,B $(2,4)$ ,P $(p,p^2)$ をとる．ただし， $-1<p<2$ とする． $\bigtriangleup$ ABPの面積の最大値およびそのときの $p$ の値を求めよ．

次に放物線と放物線。

３．(東京工業大)
放物線 $y=x^2$ 上の点Pと，放物線 $y=-x^2-16x-65$ 上の点Qに対して，線分PQを考える．このとき線分PQの長さの最小値を求めよ．

４．(東京大)
$c$ を $c>\dfrac{1}{4}$ を満たす実数とする． $xy$ 平面上の放物線 $y=x^2$ を $A$ とし，直線 $y=x-c$ に関して $A$ と対称な放物線を $B$ とする．点Pが放物線 $A$ 上を動き，点Qが放物線 $B$ 上を動くとき，線分PQの長さの最小値を $c$ を用いて表せ．

最後に円と放物線。

５．(東海大)
曲線 $y=x^2$ 上の点と曲線 $(x-3)^2+y^2=1$ 上の点の距離の最小値を求めよ．

６．(東京工業大)
$a$ を正の定数とし，放物線 $y=\dfrac{x^2}{4}$ を $C_1$ とする．
(1) 点Pが $C_1$ 上を動くとき，Pと点Q $\left(2a,\dfrac{a^2}{4}-2\right)$ の距離の最小値を求めよ．
(2) Qを中心とする円 $(x-2a)^2+\left(y-\dfrac{a^2}{4}+2\right)^2=2a^2$ を $C_2$ とする．Pが $C_1$ 上を動き，点Rが $C_2$ 上を動くとき，PとRの距離の最小値を求めよ．

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