極値の差

2016年9月8日2017年5月19日

極値の差の問題です。極値の差もそのまま値を代入して計算することもできますが、 $f'(x)$ の定積分と見立てて計算した方が手際よく計算できます。まずはその証明問題からやってみましょう。定積分をまだ習っていない人は、定積分、特に1/6公式を習ってからやってみて下さい。

１．(名古屋大)
関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ は $x=\alpha$ で極大， $x=\beta$ で極小となると仮定する．
(1) $f(\alpha)-f(\beta)=\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^3$ となることを示せ．
(2) $f(\alpha)+f(\beta)=\dfrac{2}{\beta-\alpha}{\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}f(x)dx$ が成り立つことを示せ．

次に典型問題。

２．(大阪市立大)
3次関数 $f(x)=x^3+3ax^2+3bx+1$ は $x=-1$ で極大値をとるとする．
(1) $f(x)$ が $x=p$ で極小値をとるとき， $b$ と $p$ を $a$ で表せ．
(2) $f(x)$ の極大値と極小値の差が $\dfrac{1}{2}$ のとき， $a$ の値を求めよ．

→解答

次に発展問題。

３．(東京大)
$a$ は0でない実数とする．関数 $f(x)=(3x^2-4)\left(x-a+\dfrac{1}{a}\right)$ の極大値と極小値の差が最小となる $a$ の値を求めよ．

→解答

最後に応用問題を。

４．(金沢大)
3次関数 $f(x)=x^3+k(x^2+x+1)$ について，
(1) $f(x)$ が極値をもつための定数 $k$ の値の範囲を求めよ．
(2) $f(x)$ が極値をとる $x$ の値を $\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)$ とする．このとき，4点A $(\alpha,f(\alpha))$ , B $(\alpha,f(\beta))$ , C $(\beta,f(\beta))$ , D $(\beta,f(\alpha))$ を頂点とする長方形ABCDが正方形になる $k$ の値を求めよ．
(3) (2)で得られた正方形の1辺の長さを求めよ．