極値の差

2017年5月19日

極値の差の問題です。極値の差もそのまま値を代入して計算することもできますが、f'(x)の定積分と見立てて計算した方が手際よく計算できます。まずはその証明問題からやってみましょう。定積分をまだ習っていない人は、定積分、特に1/6公式を習ってからやってみて下さい。

1.(名古屋大)
関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cx=\alphaで極大,x=\betaで極小となると仮定する.
(1) f(\alpha)-f(\beta)=\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^3となることを示せ.
(2) f(\alpha)+f(\beta)=\dfrac{2}{\beta-\alpha}{\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}f(x)dxが成り立つことを示せ.

次に典型問題。

2.(大阪市立大)
3次関数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+1x=-1で極大値をとるとする.
(1) f(x)x=pで極小値をとるとき,bpaで表せ.
(2) f(x)の極大値と極小値の差が\dfrac{1}{2}のとき,aの値を求めよ.

解答

次に発展問題。

3.(東京大)
aは0でない実数とする.関数f(x)=(3x^2-4)\left(x-a+\dfrac{1}{a}\right)の極大値と極小値の差が最小となるaの値を求めよ.

解答

最後に応用問題を。

4.(金沢大)
3次関数f(x)=x^3+k(x^2+x+1)について,
(1) f(x)が極値をもつための定数kの値の範囲を求めよ.
(2) f(x)が極値をとるxの値を\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)とする.このとき,4点A(\alpha,f(\alpha)), B(\alpha,f(\beta)), C(\beta,f(\beta)), D(\beta,f(\alpha))を頂点とする長方形ABCDが正方形になるkの値を求めよ.
(3) (2)で得られた正方形の1辺の長さを求めよ.

解答

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