等差・等比・階差・階比型

2019年3月1日2019年3月3日

まずは等差型からやってみましょう。

例題１　(関西大)

$n$ を自然数として，数列 $\{a_n\}$ が $a_1=\dfrac{3}{2},~a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2^n}$ によって定められている．
(1) $a_2$ を求めよ．
(2) $b_n=2^na_n$ とおくとき， $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ．
(3) $b_n$ を $n$ を用いて表せ．また， $a_n$ を $n$ を用いて表せ．
(4) ${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k}$ を求めよ．

→解答

次に等比型。

例題２　(信州大)

次の関係式 $a_1=-1,~a_{n+1}=2a_n(1-a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ は， $1-2a_{n+1}=(1-2a_n)^2$ を満たすことを示し，一般項 $a_n$ を求めよ．

→解答

次は階差型です。

例題３　(工学院大)

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=1,~a_{n+1}=a_n+2^n-3n+1~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ によって定めるとき， $a_{10}$ を求めよ．

→解答

最後に階比型です。階比というのは正式な用語ではないのであまり使わない方がよいでしょう。分類のために用いています。

例題４　(香川大)

$S_n$ は数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和とする．第 $n$ 項 $a_n$ と $S_n$ は $S_n+na_n=1~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を満たしている．
(1) $a_1,~a_2,~a_3$ を求めよ．
(2) $a_n$ と $S_n$ を $n$ を用いて表せ．