等差・等比・階差・階比型

2019年3月3日

まずは等差型からやってみましょう。

例題1 (関西大)

nを自然数として,数列\{a_n\}a_1=\dfrac{3}{2},~a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2^n}によって定められている.
(1) a_2を求めよ.
(2) b_n=2^na_nとおくとき,b_{n+1}b_nを用いて表せ.
(3) b_nnを用いて表せ.また,a_nnを用いて表せ.
(4) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k}を求めよ.

解答

次に等比型。

例題2 (信州大)

次の関係式a_1=-1,~a_{n+1}=2a_n(1-a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定められる数列\{a_n\}は,1-2a_{n+1}=(1-2a_n)^2を満たすことを示し,一般項a_nを求めよ.

解答

次は階差型です。

例題3 (工学院大)

数列\{a_n\}a_1=1,~a_{n+1}=a_n+2^n-3n+1~(n=1,~2,~3,~\cdots)によって定めるとき,a_{10}を求めよ.

解答

最後に階比型です。階比というのは正式な用語ではないのであまり使わない方がよいでしょう。分類のために用いています。

例題4 (香川大)

S_nは数列\{a_n\}の初項から第n項までの和とする.第na_nS_nS_n+na_n=1~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たしている.
(1) a_1,~a_2,~a_3を求めよ.
(2) a_nS_nnを用いて表せ.

解答

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