基本型

2019年3月3日

次は基本型についてです。隣接2項間漸化式にはいろいろなパターンがありますが、基本的にこの基本型に帰着させて解く問題がほとんどです。

例題1 (同志社大)

次の条件によって定まる数列\{a_n\},~\{b_n\},~\{c_n\}の一般項を求めよ.
(1) a_1=3,~a_{n+1}=2a_n+1~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(2) b_1=2,~b_{n+1}=2b_n+n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(3) c_1=2,~c_{n+1}=2c_n+\dfrac{1}{2}n(n-1)~(n=1,~2,~3,~\cdots)

解答

次にa_{n+1}=pa_n+q^n~(p \ne 1)型です。

例題2 (信州大)

数列\{a_n\}a_1=3,~a_{n+1}=2a_n+3^{n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たすとき,一般項a_nを求めよ.

解答

次は対数型です。

例題3 (大阪大)

次の条件によって定められる数列\{a_n\}がある.
a_1=2,~a_{n+1}={8a_n}^2~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) b_n=\log_2a_nとおく.b_{n+1}b_nを用いて表せ.
(2) 数列\{b_n\}の一般項を求めよ.
(3) P_n=a_1a_2a_3 \cdots a_nとおく.数列\{P_n\}の一般項を求めよ.
(4) P_n>10^{100}となる最小の自然数nを求めよ.

解答

最後に分数型の簡単なタイプa_{n+1}=\dfrac{pa_n}{ra_n+s}型です。

例題4 (山口大)

数列\{a_n\}a_1=\dfrac{1}{4},~a_{n+1}=\dfrac{a_n}{4a_n+5}~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定められるとき,
(1) a_2,~a_3,~a_4を求めよ.
(2) b_n=\dfrac{1}{a_n}とおくとき,数列\{b_n\}b_{n+1}=5b_n+4~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たすことを証明せよ.
(3) 数列\{a_n\}の一般項を求めよ.

解答

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