分数型

2019年3月1日2019年3月3日

次は分数型についてです。分数型の一般的な問題は誘導なしで出題されることはほぼないですが、まったくないわけではないので理解しておくにこしたことはありません。誘導がない場合は一般項を推定して数学的帰納法で示すのが定石です。まずは特性解異なる2解型から。

例題１　(広島県立大)

$a_1=3,~a_{n+1}=\dfrac{4a_n-2}{a_n+1}$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について
(1) 方程式 $x=\dfrac{4x-2}{x+1}$ の解 $\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)$ を求めよ．
(2) (1)の $\alpha,~\beta$ に対して， $b_n=\dfrac{a_n-\beta}{a_n-\alpha}$ によって定義される数列 $\{b_n\}$ が満たす漸化式を導き，一般項 $b_n$ を求めよ．
(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

→解答

例題１を別の方法で解いてみましょう。数列を平行移動して $a_{n+1}=\dfrac{pa_n}{ra_n+s}$ に帰着させる方法です。

例題２　(電気通信大)

$a_1=7,~a_{n+1}=\dfrac{7a_n+3}{a_n+5}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について
(1) $b_n=a_n-k$ とおくとき， $b_{n+1}=\dfrac{\alpha b_n}{b_n+\beta}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ となるような定数 $k,~\alpha,~\beta$ を求めよ．ただし $k>0$ とする．
(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．さらに，数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

→解答

最後に特性解重解型です。

例題３　(東京理科大)

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=7,~a_{n+1}=\dfrac{4a_n-9}{a_n-2},~n=1,~2,~3,~\cdots$ を満たす．
(1) すべての自然数 $n$ に対し， $a_n>3$ であることを示せ．
(2) 自然数 $n$ に対し， $b_n=\dfrac{1}{a_n-3}$ とおく． $b_{n+1}$ と $b_n$ の関係を求めよ．
(3) $a_n$ を $n$ で表せ．