３項間漸化式

2019年3月1日2019年3月4日

３項間漸化式についてです。まずは特性解異なる2解型から解いてみましょう。

例題１　(同志社大)

漸化式 $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n~(n \geqq 1),~a_1=3,~a_2=5$ により定義される数列 $\{a_n\}$ について
(1) 数列 $\{a_n\}$ に関する漸化式は
$a_{n+2}-qa_{n+1}=p(a_{n+1}-qa_n)$
と変形できる． $p,~q~(p>q)$ の値を求めよ．
(2) (1)を用いて，数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項を求めよ．
(3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ．

→解答

次は特性解がきたない場合です。

例題２　(宮城教育大)

数列 $\{a_n\}$ を漸化式 $a_1=1,~a_2=2,~a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ により定める．
(1) $a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が成り立つような定数 $p,~q~(p<q)$ の値を求めよ．
(2) 数列 $\{c_n\},~\{d_n\}$ を $c_n=a_{n+1}-pa_n,~d_n=a_{n+1}-qa_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ により定めたとき，一般項 $c_n,~d_n$ を $n$ を用いて表せ．
(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表せ．

→解答

次はフィボナッチ数列についてです。次のように解の一般的な形から一般項を導く方法もあります。

例題３　(京都薬科大)

$\alpha,~\beta~(\alpha > \beta)$ を $x^2-x-1=0$ の2つの相異なる実数解とするとき， $A,~B$ を定数として
$a_n=A\alpha^n+B\beta^n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
で定義された数列 $\{a_n\}$ について
(1) この漸化式が $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を満足することを証明せよ．
(2) $a_1=0,~a_2=1$ のとき，一般項 $a_n$ を求めよ．

→解答

次は特性解重解型です。

例題４　(室蘭工業大)

数列 $\{a_n\}$ が次の条件を満たすとする．
$a_1=1,~a_2=6,~a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) $b_n=a_{n+1}-3a_n$ とおくとき，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．