3項間漸化式

2019年3月4日

3項間漸化式についてです。まずは特性解異なる2解型から解いてみましょう。

例題1 (同志社大)

漸化式a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n~(n \geqq 1),~a_1=3,~a_2=5により定義される数列\{a_n\}について
(1) 数列\{a_n\}に関する漸化式は
a_{n+2}-qa_{n+1}=p(a_{n+1}-qa_n)
と変形できる.p,~q~(p>q)の値を求めよ.
(2) (1)を用いて,数列\{a_n\}の第n項を求めよ.
(3) 数列\{a_n\}の初項から第n項までの和S_nを求めよ.

解答

次は特性解がきたない場合です。

例題2 (宮城教育大)

数列\{a_n\}を漸化式a_1=1,~a_2=2,~a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)により定める.
(1) a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成り立つような定数p,~q~(p<q)の値を求めよ.
(2) 数列\{c_n\},~\{d_n\}c_n=a_{n+1}-pa_n,~d_n=a_{n+1}-qa_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)により定めたとき,一般項c_n,~d_nnを用いて表せ.
(3) 数列\{a_n\}の一般項a_nnを用いて表せ.

解答

次はフィボナッチ数列についてです。次のように解の一般的な形から一般項を導く方法もあります。

例題3 (京都薬科大)

\alpha,~\beta~(\alpha > \beta)x^2-x-1=0の2つの相異なる実数解とするとき,A,~Bを定数として
a_n=A\alpha^n+B\beta^n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
で定義された数列\{a_n\}について
(1) この漸化式がa_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満足することを証明せよ.
(2) a_1=0,~a_2=1のとき,一般項a_nを求めよ.

解答

次は特性解重解型です。

例題4 (室蘭工業大)

数列\{a_n\}が次の条件を満たすとする.
a_1=1,~a_2=6,~a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) b_n=a_{n+1}-3a_nとおくとき,数列\{b_n\}の一般項を求めよ.
(2) 数列\{a_n\}の一般項を求めよ.

解答

最後にしっぽに何かがくっついている場合です。

例題5 (山梨大)

a_1=1,~a_2=2,~a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1で定められる数列\{a_n\}の一般項a_nを求めよ.

解答

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