連立漸化式

2019年4月11日

連立漸化式についてです。

まずは係数対称型から解いてみましょう。

例題1 (関西大)

2つの数列\{a_n\},~\{b_n\}があり,次の関係式
a_1=1,~b_1=0,~3a_{n+1}+a_n+2b_n=0,~3b_{n+1}+2a_n+b_n=0\\ (n=1,~2,~3,~\cdots)
を満たしている.このとき,a_n,~b_nを求めよ.

解答

次は係数非対称型です。まずは\{a_n+b_n\}\{a_n-b_n\}のどちらかが等比数列か定数列になるパターンです。

例題2 (岩手大)

2つの数列\{a_n\},~\{b_n\}
a_1=2,~b_1=2,~a_{n+1}=6a_n+2b_n,~b_{n+1}=-2a_n+2b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
で定められるとき,
(1) c_n=a_n+b_nとおくとき,数列\{c_n\}の一般項を求めよ.
(2) 数列\{a_n\}の一般項を求めよ.
(3) 数列\{a_n\}の初項から第n項までの和を求めよ.

解答

次は\{a_n+b_n\}\{a_n-b_n\}も等比数列や定数列にならないパターンです。

例題3 (北海道教育大)

次の関係式で定まる2つの数列\{a_n\},~\{b_n\}がある.
a_1=b_1=1, a_{n+1}=a_n+b_n,~b_{n+1}=4a_n+b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) 数列\{a_n+kb_n\}が等比数列となるように,定数kの値を定めよ.
(2) 数列\{a_n\},~\{b_n\}の一般項を求めよ.

解答

最後によくあるペル方程式型の連立漸化式を2つやっておきましょう。

例題4 (慶応大)

(1) n=1,~2,~\cdotsに対して,(\sqrt{2}+1)^n=a_n+\sqrt{2}b_nにより自然数a_n,~b_nを定義する.このとき,(\sqrt{2}-1)^na_n,~b_nを用いて表せ.また,a_n^2-2b_n^2の値を求めよ.
(2) 適当な自然数k_nを用いて,(\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{k_n}-\sqrt{k_n-1}~(n=1,~2,~\cdots)と表せることを示せ.

解答

例題5 (中央大)

自然数nに対して,正の整数a_n,~b_n(3+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}によって定める.
(1) a_1,~b_1a_2,~b_2を求めよ.
(2) a_{n+1},~b_{n+1}a_n,~b_nを用いて表せ.
(3) nが奇数のとき,a_n,~b_nはともに奇数であって,nが偶数のとき,a_nは奇数で,b_nは偶数であることを数学的帰納法によって示せ.

解答

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