連立漸化式

2019年3月1日2019年4月11日

連立漸化式についてです。

まずは係数対称型から解いてみましょう。

例題１　(関西大)

2つの数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ があり，次の関係式
$a_1=1,~b_1=0,~3a_{n+1}+a_n+2b_n=0,~3b_{n+1}+2a_n+b_n=0\\ (n=1,~2,~3,~\cdots)$
を満たしている．このとき， $a_n,~b_n$ を求めよ．

→解答

次は係数非対称型です。まずは $\{a_n+b_n\}$ か $\{a_n-b_n\}$ のどちらかが等比数列か定数列になるパターンです。

例題２　(岩手大)

2つの数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ が
$a_1=2,~b_1=2,~a_{n+1}=6a_n+2b_n,~b_{n+1}=-2a_n+2b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
で定められるとき，
(1) $c_n=a_n+b_n$ とおくとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ．
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
(3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ．

→解答

次は $\{a_n+b_n\}$ も $\{a_n-b_n\}$ も等比数列や定数列にならないパターンです。

例題３　(北海道教育大)

次の関係式で定まる2つの数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ がある．
$a_1=b_1=1, a_{n+1}=a_n+b_n,~b_{n+1}=4a_n+b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) 数列 $\{a_n+kb_n\}$ が等比数列となるように，定数 $k$ の値を定めよ．
(2) 数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ の一般項を求めよ．

→解答

最後によくあるペル方程式型の連立漸化式を2つやっておきましょう。

例題４　(慶応大)

(1) $n=1,~2,~\cdots$ に対して， $(\sqrt{2}+1)^n=a_n+\sqrt{2}b_n$ により自然数 $a_n,~b_n$ を定義する．このとき， $(\sqrt{2}-1)^n$ を $a_n,~b_n$ を用いて表せ．また， $a_n^2-2b_n^2$ の値を求めよ．
(2) 適当な自然数 $k_n$ を用いて， $(\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{k_n}-\sqrt{k_n-1}~(n=1,~2,~\cdots)$ と表せることを示せ．

→解答

例題５　(中央大)

自然数 $n$ に対して，正の整数 $a_n,~b_n$ を $(3+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}$ によって定める．
(1) $a_1,~b_1$ と $a_2,~b_2$ を求めよ．
(2) $a_{n+1},~b_{n+1}$ を $a_n,~b_n$ を用いて表せ．
(3) $n$ が奇数のとき， $a_n,~b_n$ はともに奇数であって， $n$ が偶数のとき， $a_n$ は奇数で， $b_n$ は偶数であることを数学的帰納法によって示せ．