三角比の定義２

2016年9月11日2017年4月13日

三角比をうまく利用する問題です。

１．(筑波大)
$xy$ 平面の第1象限内の点Hが原点Oを中心とする半径 $a$ の円周上にある．点Hから $x$ 軸， $y$ 軸に下ろした垂線の足をそれぞれA, Bとし，さらに点Hから線分ABに下ろした垂線の足をPとする．線分HPの長さを $l$ ， $\angle$ AHP= $\theta$ とするとき，
(1) $l$ を $a$ と $\theta$ で表せ．
(2) 点P $(x,y)$ の座標 $(x,y)$ を $a$ と $\theta$ で表せ．
(3) 点Hが円周上を動くとき，線分OPの長さの最小値を求めよ．

２．(大阪大)
平面上に，点Oを中心とし点 $\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\mbox{A}_3,~\mbox{A}_4,~\mbox{A}_5,~\mbox{A}_6$ を頂点とする正六角形がある．Oを通り，その平面上にある直線 $l$ を考え，各 $\mbox{A}_k$ と $l$ との距離をそれぞれ $d_k$ とする．このとき，
$D={d_1}^2+{d_2}^2+{d_3}^2+{d_4}^2+{d_5}^2+{d_6}^2$
は $l$ によらず一定であることを示し，その値を求めよ．ただし， $\mbox{OA}_k=r$ とする．