三角形の面積

2017年4月13日

三角形の面積の公式を何個知っていますか？

１．(兵庫県立大)
三角形ABCの最大辺をBC，最小辺をABとし，\mbox{AB}=c,~\mbox{BC}=a,~\mbox{CA}=bとする(a \geqq b \geqq c)．また，三角形ABCの面積をSとする．
(1) 不等式S \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2が成り立つことを示せ．
(2) 三角形ABCが鋭角三角形のときは，不等式\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2 \leqq Sも成り立つことを示せ．

２．(北海道教育大)
三角形ABCにおいて，3つの角の大きさをA,~B,~Cで，それらの対辺をそれぞれa,~b,~cで表し，面積をSとする．
(1) 等式a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S=2a^2+2b^2-4ab\cos(C-60^{\circ})を証明せよ．
(2) 不等式a^2+b^2+c^2 \geqq 4\sqrt{3}Sを証明せよ．

３．(千葉大)
三角形ABCの面積は\dfrac{3+\sqrt{3}}{4}，外接円の半径は1，\angleBAC=60°, AB>ACである．このとき，三角形ABCの各辺の長さを求めよ．

次にヘロンの公式です。

４．
三辺の長さがa,~b,~cである三角形がある．この三角形の面積をSとするとき，s=\dfrac{a+b+c}{2}とすると
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
と表されることを示せ．

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数学Ⅰ　三角比ヘロンの公式, 三角形の面積

Posted by 山彦のフドウ