sin,cosの加法定理

2019年3月17日

sin,cosの加法定理の問題をいくつか。

1.B (防衛医大)
\alphaを第2象限,\betaを第3象限の角とする.\sin\alpha=\dfrac{7}{25},~\cos\beta=-\dfrac{4}{5}のとき,\alpha+2\betaは第何象限の角か.

解答

2.B ((1) 関西学院大 (2) 北海道薬科大 (3) 工学院大 (4) 早稲田大)
(1) 0^{\circ}<\alpha<90^{\circ},~90^{\circ}<\beta<180^{\circ}で,\sin\alpha+\sin\beta=\dfrac{5}{6},~\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{6}のとき,\sin(\alpha+\beta)の値を求めよ.
(2) \sin x-\sin y=\dfrac{1}{2},~\cos x-\cos y=\dfrac{1}{3}のとき,\cos(x-y),~\cos(x+y)の値を求めよ.
(3) 0^{\circ}\leqq \alpha \leqq 90^{\circ},~0^{\circ}\leqq \beta \leqq 90^{\circ}\sin\alpha+\cos\beta=\dfrac{5}{4},~\cos\alpha+\sin\beta=\dfrac{5}{4}のとき,\sin(\alpha+\beta),~\tan(\alpha+\beta)の値を求めよ.
(4) \sin x+\sin y=\dfrac{2}{3},~\cos x\cos y=\dfrac{1}{2}のとき,\sin x\sin y,~\sin\dfrac{x+y}{2}の値を求めよ.

解答

3.B (宮崎大)
\thetaは第1象限の角で\cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{3}を満たしているとする.このとき,
(1) \sin\theta,~\sin 2\theta,~\cos 2\thetaの値を求めよ.
(2) \sin 3\theta,~\cos 3\thetaの値を求め,3\thetaが第何象限の角であるか答えよ.

解答

4.B (津田塾大)
\tan\theta=\dfrac{1}{2}~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)とする.n\theta>\dfrac{\pi}{2}となる最小の自然数nを求めよ.

解答

5.B (京都大)
f(\theta)=\cos 4\theta-4\sin^2\thetaとする.0^{\circ}\leqq \theta \leqq 135^{\circ}におけるf(\theta)の最大値および最小値を求めよ.

解答

6.C (京都大)
\alpha0<\alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}を満たす定数とし,四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える.
(ⅰ) 四角形ABCDは半径1の円に内接する.
(ⅱ) \angle\mbox{ABC}=\angle\mbox{DAB}=\alpha
条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たす四角形のなかで,4辺の長さの積k=\mbox{AB} \cdot \mbox{BC} \cdot \mbox{CD} \cdot \mbox{DA}が最大となるものについて,kの値を求めよ.

解答

7.B (京都大)
(1) m, nを2つの正の整数とする.\cos m^{\circ}, \sin m^{\circ}, \cos n^{\circ}, \sin n^{\circ}のすべてが有理数であるとき,\cos(m+n)^{\circ}, \sin(m+n)^{\circ}はともに有理数であることを示せ.
(2) nを60の約数とする.このとき,\cos n^{\circ}\sin n^{\circ}の少なくとも一方は無理数であることを示せ.

解答

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