sin,cosの加法定理

2016年9月14日2019年3月17日

sin,cosの加法定理の問題をいくつか。

１．B (防衛医大)
$\alpha$ を第2象限， $\beta$ を第3象限の角とする． $\sin\alpha=\dfrac{7}{25},~\cos\beta=-\dfrac{4}{5}$ のとき， $\alpha+2\beta$ は第何象限の角か．

→解答

２．B ((1) 関西学院大　(2) 北海道薬科大　(3) 工学院大　(4) 早稲田大)
(1) $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ},~90^{\circ}<\beta<180^{\circ}$ で， $\sin\alpha+\sin\beta=\dfrac{5}{6},~\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{6}$ のとき， $\sin(\alpha+\beta)$ の値を求めよ．
(2) $\sin x-\sin y=\dfrac{1}{2},~\cos x-\cos y=\dfrac{1}{3}$ のとき， $\cos(x-y),~\cos(x+y)$ の値を求めよ．
(3) $0^{\circ}\leqq \alpha \leqq 90^{\circ},~0^{\circ}\leqq \beta \leqq 90^{\circ}$ で $\sin\alpha+\cos\beta=\dfrac{5}{4},~\cos\alpha+\sin\beta=\dfrac{5}{4}$ のとき， $\sin(\alpha+\beta),~\tan(\alpha+\beta)$ の値を求めよ．
(4) $\sin x+\sin y=\dfrac{2}{3},~\cos x\cos y=\dfrac{1}{2}$ のとき， $\sin x\sin y,~\sin\dfrac{x+y}{2}$ の値を求めよ．

→解答

３．B (宮崎大)
$\theta$ は第1象限の角で $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ を満たしているとする．このとき，
(1) $\sin\theta,~\sin 2\theta,~\cos 2\theta$ の値を求めよ．
(2) $\sin 3\theta,~\cos 3\theta$ の値を求め， $3\theta$ が第何象限の角であるか答えよ．

→解答

４．B (津田塾大)
$\tan\theta=\dfrac{1}{2}~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ とする． $n\theta>\dfrac{\pi}{2}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ．

→解答

５．B (京都大)
$f(\theta)=\cos 4\theta-4\sin^2\theta$ とする． $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 135^{\circ}$ における $f(\theta)$ の最大値および最小値を求めよ．

→解答

６．C (京都大)
$\alpha$ は $0<\alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}$ を満たす定数とし，四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える．
(ⅰ) 四角形ABCDは半径1の円に内接する．
(ⅱ) $\angle\mbox{ABC}=\angle\mbox{DAB}=\alpha$
条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たす四角形のなかで，4辺の長さの積 $k=\mbox{AB} \cdot \mbox{BC} \cdot \mbox{CD} \cdot \mbox{DA}$ が最大となるものについて， $k$ の値を求めよ．

→解答

７．B (京都大)
(1) $m, n$ を2つの正の整数とする． $\cos m^{\circ}, \sin m^{\circ}, \cos n^{\circ}, \sin n^{\circ}$ のすべてが有理数であるとき， $\cos(m+n)^{\circ}, \sin(m+n)^{\circ}$ はともに有理数であることを示せ．
(2) $n$ を60の約数とする．このとき， $\cos n^{\circ}$ と $\sin n^{\circ}$ の少なくとも一方は無理数であることを示せ．