三角関数のグラフ

2019年3月17日

三角関数のグラフの問題を2つ。

1.B (九州大)
関数f(x)=\left|\left|\sin x-\dfrac{1}{2}\right|-\dfrac{1}{2}\right|について,次の問いに答えよ.ただし,-\pi \leqq x \leqq \piとする.
(1) f(x)=0となるxを求めよ.
(2) 関数y=f(x)のグラフの概形をかけ.
(3) 実数kに対し,f(x)=kを満たすxの個数を求めよ.

解答

2.C (東北大)
(1) 0 \leqq x \leqq 2\piの範囲で\cos(\pi\cos x)=\dfrac{1}{2}を満たすxの個数を求めよ.
(2) 0 \leqq x \leqq 2\piの範囲で\cos(\pi\cos x)=\cos xを満たすxの個数を求めよ.

解答

次に三角関数の凸性の問題を。

3.B (奈良県立医大)
次の不等式が成り立つことを証明し,等号が成立するための条件を求めよ.
(1) 0^{\circ} \leqq \alpha \leqq 180^{\circ},~0^{\circ} \leqq \beta \leqq 180^{\circ}のとき,
\dfrac{\sin\alpha+\sin\beta}{2} \leqq \sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}
(2) 0^{\circ} \leqq \alpha \leqq 180^{\circ},~0^{\circ} \leqq \beta \leqq 180^{\circ},~0^{\circ} \leqq \gamma \leqq 180^{\circ},~0^{\circ} \leqq \delta \leqq 180^{\circ}のとき,
\dfrac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta}{4} \leqq \sin\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\delta}{4}
(3) 0^{\circ} \leqq \alpha \leqq 180^{\circ},~0^{\circ} \leqq \beta \leqq 180^{\circ} ,~0^{\circ} \leqq \gamma \leqq 180^{\circ}のとき,
\dfrac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{3} \leqq \sin\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3}

解答

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