三角関数を解とする方程式

2019年3月17日

三角関数を解とする方程式の問題をいくつか。

1.B (東北大)
2次方程式4x^2+2x-1=0の2つの解を\alpha,~\beta~(\alpha>\beta)とする.
(1) \alpha=\cos\thetaとなる角\thetaが,\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}の範囲に1つだけ存在することを示せ.
以下,\thetaは(1)で定まるものとする.
(2) \beta=\cos 2\thetaであることを示せ.
(3) \thetaの値を求めよ.
(4) \sin\dfrac{3\theta}{4}を求めよ.

解答

2.B (横浜市立大)
(1) \sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\thetaが成り立つことを証明せよ.
(2) x=\sin\dfrac{\pi}{9},~\sin\dfrac{2\pi}{9},~\sin\left(-\dfrac{4\pi}{9}\right)はいずれも方程式4x^3-3x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0の解であることを証明せよ.
(3) \sin\dfrac{\pi}{9}\sin\dfrac{2\pi}{9}\sin\dfrac{4\pi}{9}の値を求めよ.
(4) \sin x \ne 0のとき,\cos x\cos 2x\cos 2^2x\cdots\cos2^{n-1}x=\dfrac{\sin 2^nx}{2^n\sin x}が成り立つことを証明せよ.ただし,nは正の整数とする.
(5) \cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}の値を求めよ.
(6) \tan 20^{\circ}\tan 40^{\circ}\tan 80^{\circ}=\tan\theta~\left(-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)を求めよ.

解答

3.B (筑波大)
(1) 等式\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\thetaを示せ.
(2) 2\cos 80^{\circ}は3次方程式x^3-3x+1=0の解であることを示せ.
(3) x^3-3x+1=(x-2\cos80^{\circ})(x-2\cos\alpha)(x-2\cos\beta)となる角度\alpha,~\betaを求めよ.ただし0^{\circ}<\alpha<\beta<180^{\circ}とする.

解答

4.B (中央大)
(1) \sin 3\theta\sin\thetaを用いて表せ.
(2) \sin\dfrac{2\pi}{5}=\sin\dfrac{3\pi}{5}に着目して\cos\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{\pi}{5}の値を求めよ.
(3) 積\sin\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{2\pi}{5}\sin\dfrac{3\pi}{5}\sin\dfrac{4\pi}{5}の値を求めよ.

解答

次は、図形への応用。

5.B (山形大)
半径1の円に内接する正五角形ABCDEの1辺の長さをaとし,\alpha=\dfrac{2}{5}\piとおく.
(1) \sin 3\alpha+\sin 2\alpha=0が成り立つことを証明せよ.
(2) \cos\alphaの値を求めよ.
(3) aの値を求めよ.
(4) 線分ACの長さを求めよ.

解答

6.C (岩手大)
(1) \sin\dfrac{\pi}{12}\sin\dfrac{5}{12}\piが方程式16x^4-16x^2+1=0の解であることを示せ.
(2) 不等式x^2+y^2 \leqq 1,~16x^4-16x^2+1 \leqq 0を同時に満たす領域の面積を求めよ.

解答

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